Une analyse dichotomique du paradoxe de l’examen-surprise

Une analyse dichotomique du paradoxe de l’examen-surprise

décembre 2004

Paul Franceschi

Université de Corse

 

This paper proposes a new framework to solve the surprise examination paradox. I survey preliminary the main contributions to the literature related to the paradox. I expose then a simplified version of the present account. I analyse further the different cases of surprise in more detail. This leads to distinguish between surprise by error, by non-justification and by inappropriate justification. I introduce then a distinction between a monist and a dichotomic analysis of the paradox. With the help of a matrix notation, I also present a dichotomy that leads to distinguish two basically and structurally different notions of surprise, which are respectively based on a conjoint and a disjoint structure. I describe then how Quine’s solution applies to the surprise examination paradox corresponding to the conjoint structure. Lastly, I expose a solution to the paradox based on the disjoint structure.

 

 

Je présenterai dans ce qui suit un cadre conceptuel nouveau, en ce sens qu’il réorganise plusieurs éléments de solution décrits dans la littérature, pour résoudre le paradoxe de l’examen-surprise (surprise examination paradox, soit SEP). La solution proposée ici repose sur les éléments essentiels suivants : (a) une distinction entre analyse moniste et dichotomique du paradoxe ; (b) l’introduction d’une définition matricielle, qui sert de support à différentes variations du paradoxe ; (c) la distinction entre une définition conjointe ou disjointe des cas de surprise et de non-surprise, conduisant à deux notions structurellement distinctes de surprise.

Dans la section 1, je m’attache à décrire le paradoxe et les principales solutions rencontrées dans la littérature. Je décris ensuite de manière simplifiée, dans la section 2, la solution au paradoxe qui résulte de la présente approche. Dans la section 3, j’analyse en détail les différents cas de surprise. J’introduis ensuite dans la section 4, la distinction entre analyse moniste et dichotomique du paradoxe. J’y présente également une dichotomie qui permet de distinguer deux versions fondamentalement et structurellement différentes du paradoxe : d’une part une version basée sur une structure conjointe des cas de non-surprise et de surprise ; d’autre part, une version fondée sur une structure disjointe. Dans la section 5, je décris comment la solution de Quine s’applique pour la version de SEP correspondant à la structure conjointe des cas de non-surprise et de surprise. Enfin, dans la section 6, j’expose la solution pour SEP correspondant à la structure disjointe.

 

  1. Le paradoxe

Le paradoxe de l’examen-surprise trouve son origine dans ce qui constitue un fait réel. En 1943-1944, les autorités suédoises envisagèrent de réaliser un exercice de défense civile. Elles diffusèrent alors par la radio une annonce selon laquelle un exercice de défense civile devait se dérouler la semaine suivante. Cependant, afin que celui-ci se déroule dans des conditions optimales, l’annonce précisa également que personne ne pourrait connaître à l’avance la date de l’exercice. Le mathématicien Lennart Ekbom comprit le subtil problème posé par cette annonce d’un exercice de défense civile et l’exposa à ses étudiants. Le paradoxe connut ensuite une large diffusion à travers le monde.

SEP est tout d’abord apparu dans la littérature avec un article de D. O’ Connor (1948). O’ Connor présente le paradoxe sous la forme de l’annonce d’un exercice d’entraînement militaire. Ultérieurement, SEP apparaîtra dans la littérature sous d’autres formes, telles que l’annonce de l’apparition d’un as dans un jeu de cartes (Scriven 1951) ou encore d’une pendaison (Quine 1953). Cependant, la version du paradoxe liée à l’annonce par un professeur d’un examen-surprise est demeurée la forme la plus courante. La version classique du paradoxe est ainsi la suivante : un professeur annonce à ses étudiants qu’un examen aura lieu la semaine prochaine, mais qu’ils ne pourront pas connaître à l’avance le jour précis où l’examen se déroulera. L’examen aura donc lieu par surprise. Les étudiants raisonnent ainsi. L’examen ne peut avoir lieu le samedi, pensent-ils, car sinon ils sauraient à l’avance que l’examen aurait lieu le samedi et donc il ne pourrait survenir par surprise. Aussi le samedi se trouve-t-il éliminé. De plus, l’examen ne peut avoir lieu le vendredi, car sinon les étudiants sauraient à l’avance que l’examen aurait lieu le vendredi et donc il ne pourrait survenir par surprise. Aussi le vendredi se trouve-t-il également éliminé. Par un raisonnement analogue, les étudiants éliminent successivement le jeudi, le mercredi, le mardi et le lundi. Finalement, ce sont tous les jours de la semaine qui sont ainsi éliminés. Toutefois, cela n’empêche pas l’examen de survenir finalement par surprise, le mercredi. Ainsi, le raisonnement des étudiants s’est avéré fallacieux. Pourtant, un tel raisonnement paraît intuitivement valide. Le paradoxe réside ici dans le fait que le raisonnement des étudiants est semble-t-il valide, alors qu’il se révèle finalement en contradiction avec les faits, à savoir que l’examen peut véritablement survenir par surprise, conformément à l’annonce faite par le professeur.

Dans la littérature, plusieurs solutions pour résoudre SEP ont été proposées. Il n’existe toutefois pas, à l’heure actuelle, de solution qui fasse l’objet d’un consensus. Je citerai brièvement les principales solutions qui ont été proposées, ainsi que les objections fondamentales qu’elles ont soulevées.

Une première tentative de solution est apparue avec O’ Connor (1948). Cet auteur fit observer que le paradoxe était dû au caractère contradictoire qui résultait de l’annonce du professeur et de la mise en œuvre de cette dernière. Selon O’ Connor, l’annonce du professeur selon laquelle l’examen devait survenir par surprise se trouvait en contradiction avec le fait que les détails de la mise en œuvre de l’examen étaient connus. Ainsi, l’énoncé de SEP se révélait-il, selon O’ Connor, auto-réfutant. Cependant, il s’est avéré qu’une telle analyse était inadéquate, car il est finalement apparu que l’examen pouvait véritablement être mis en œuvre dans des conditions où il survenait par surprise, par exemple le mercredi. Ainsi, l’examen pouvait finalement survenir par surprise, confirmant ainsi mais non réfutant, l’annonce du professeur. Cette dernière constatation avait pour effet de faire resurgir le paradoxe.

Quine (1953) proposa également une solution pour SEP. Quine considère ainsi la conclusion finale de l’étudiant selon laquelle l’examen ne peut avoir lieu par surprise aucun jour de la semaine. Selon Quine, l’erreur de l’étudiant réside dans le fait de n’avoir pas envisagé dès le début l’hypothèse selon laquelle l’examen pourrait ne pas avoir lieu le dernier jour. Car le fait de considérer précisément que l’examen n’aura pas lieu le dernier jour permet finalement à l’examen de survenir par surprise, le dernier jour. Si l’étudiant avait également pris en compte cette possibilité dès le début, il ne serait pas parvenu à la conclusion fallacieuse que l’examen ne peut pas survenir par surprise. Cependant, la solution de Quine fit l’objet de critiques, émanant de commentateurs (Ayer 1973, Janaway 1989 et également Hall 1999) qui mirent l’accent sur le fait que celle-ci ne permettait pas de rendre compte de plusieurs variations du paradoxe. Ainsi, Ayer imagine une version de SEP où une personne est informée que les cartes d’un jeu vont être retournées une à une, mais qu’elle ne saura pas à l’avance lorsque l’as de Pique sortira. Néanmoins, la personne est autorisée à vérifier la présence de l’as de Pique avant que le jeu de cartes ne soit mélangé. L’objection à la solution de Quine basée sur une telle variation a pour but de mettre en évidence une situation où le paradoxe est bien présent mais où la solution de Quine ne trouve plus à s’appliquer, parce que l’étudiant sait de manière indubitable, compte tenu des données initiales du problème, que l’examen aura bien lieu.

Selon une autre approche, défendue notamment par R. Shaw (1958), la structure du paradoxe se révèle être auto-référentielle. Selon Shaw, le fait que l’examen doive survenir par surprise s’assimile au fait que la date de l’examen ne pourra pas être déduite à l’avance. Mais le fait que les étudiants ne puissent pas connaître à l’avance, par déduction, la date de l’examen constitue précisément une des prémisses. Le paradoxe trouve donc son origine, selon Shaw, dans le fait que la structure de l’annonce du professeur est auto-référentielle. Selon l’auteur, l’autoréférence qui en résulte constitue ainsi la cause du paradoxe. Cependant, une telle analyse devait se révéler peu convaincante, car elle ne permettait pas de rendre compte du fait que malgré sa structure auto-référentielle, l’annonce du professeur se trouvait finalement confirmée par le fait que l’examen pouvait finalement survenir par surprise, par exemple le mercredi.

Une autre approche, développée par Richard Montague et David Kaplan (1960) est basée sur l’analyse de la structure de SEP qui s’avère, selon ces auteurs, être celle du paradoxe du Connaisseur (paradox of the Knower). Ce dernier paradoxe constitue lui-même une variation du paradoxe du Menteur (Liar paradox). Ce que proposent donc en définitive Montague et Kaplan, c’est une réduction de SEP au paradoxe du Menteur. Mais cette dernière approche ne s’est toutefois pas avérée convaincante. En effet, elle a été critiquée car elle ne rend pas compte, d’une part, du fait que l’annonce du professeur peut être finalement confirmée et d’autre part, du fait que l’on peut formuler le paradoxe de manière non auto-référentielle.

Il convient également de mentionner l’analyse développée par Robert Binkley (1968). Dans son article, Binkley expose une réduction de SEP au paradoxe de Moore (Moore’s paradox). L’auteur fait valoir que le dernier jour, SEP se réduit à une variation de la proposition ‘P et je ne sais pas que P’ qui constitue le paradoxe de Moore. Binkley étend ensuite son analyse concernant le dernier jour aux autres jours de la semaine. Cependant, cette approche a fait l’objet de solides objections, résultant notamment de l’analyse de Wright et Sudbury (1977).

Une autre approche mérite également d’être mentionnée. Il s’agit de celle développée par Paul Dietl (1973) et Joseph Smith (1984). Selon les auteurs, la structure de SEP est celle du paradoxe sorite (sorites paradox). Ce que proposent donc Dietl et Smith, c’est une réduction de SEP au paradoxe sorite. Toutefois, une telle analyse a rencontré de sérieuses objections, développées notamment par Roy Sorensen (1988).

Il convient en outre de mentionner l’approche présentée par Crispin Wright et Aidan Sudbury (1977). L’analyse développée par ces auteurs[1] conduit à distinguer deux cas : d’une  part, le dernier jour, l’étudiant se trouve dans une situation qui est celle qui résulte du paradoxe de Moore ; d’autre part, le premier jour, l’étudiant se trouve dans une situation fondamentalement différente où il peut valablement croire dans l’annonce faite par le professeur. Ainsi, la mise en évidence de ces deux types de situations conduit au rejet du principe de rétention temporelle. Selon ce dernier principe, ce qui est su à une position temporelle T0 est également su à une position temporelle ultérieure T1 (avec T0 < T1). Toutefois, l’analyse de Wright et Sudbury s’est révélée vulnérable à un argument développé par Sorensen (1982). Celui-ci en effet mit en évidence une version de SEP (Designated Student Paradox) qui ne faisait pas appel au principe de rétention temporelle, sur lequel reposait l’approche de Wright et Sudbury. Selon cette version, le paradoxe était bien présent, mais sans que les conditions de son exposé ne nécessitent de faire appel au principe de rétention temporelle. Sorensen décrit ainsi la variation suivante du paradoxe. Cinq étudiants, A, B, C, D et E se trouvent placés, dans cet ordre, l’un derrière l’autre. Le professeur montre alors aux étudiants quatre étoiles en argent et une étoile en or. Puis il place une étoile dans le dos de chacun des étudiants. Enfin, il leur annonce que celui d’entre eux qui a une étoile en or dans le dos a été désigné pour passer un examen. Mais, ajoute le professeur, cet examen constituera une surprise, car les étudiants ne connaîtront celui qui a été désigné que lorsqu’ils rompront leur alignement. Dans ces conditions, il apparaît que les étudiants peuvent mettre en œuvre un raisonnement analogue à celui qui prévaut dans la version originale de SEP. Mais cette dernière version est diachronique, alors que la variation décrite par Sorensen se révèle en revanche synchronique. Et en tant que telle, elle n’est donc pas basée sur un quelconque principe de rétention temporelle.

Compte tenu de ces éléments, il apparaît que l’enjeu et les implications philosophiques de SEP sont d’importance. Ils se situent à plusieurs niveaux et concernent[2] ainsi la théorie de la connaissance, la déduction, la justification, les paradoxes sémantiques, l’autoréférence, la logique modale, les notions vagues.

 

  1. Une solution simplifiée

Je commencerai par présenter de manière simplifiée la solution pour le paradoxe de l’examen-surprise qui résulte de la présente analyse, avant de m’attacher à décrire ensuite celle-ci de manière détaillée. Les lignes essentielles de la présente solution peuvent en effet être décrites assez simplement. Celles-ci peuvent ainsi être esquissées en considérant ce qu’aurait dû être le raisonnement de l’étudiant. Voici en effet, en vertu de la présente analyse, comment l’étudiant aurait dû raisonner, après avoir entendu l’annonce du professeur. Il aurait dû tout d’abord remarquer que deux conceptions sémantiquement distinctes de la surprise, susceptibles d’influer sur le raisonnement à tenir, se révèlent possibles. Il aurait pu observer également que le professeur n’a pas précisé, lors de son annonce, à laquelle de ces deux conceptions il se référait. Le professeur se réfère donc indifféremment, aurait pu poursuivre l’étudiant, à l’une ou à l’autre de ces conceptions de la surprise. Par conséquent, il est nécessaire d’envisager successivement les deux notions possibles de surprise, et le raisonnement à tenir pour chaque cas.

En premier lieu, il apparaît que la surprise peut correspondre à une définition conjointe des cas de non-surprise et de surprise. Une telle définition est telle que la non-surprise et la surprise sont à la fois possibles, par exemple le dernier jour. Une telle situation peut notamment se produire si l’étudiant commence par raisonner en éliminant successivement, le dernier jour, l’avant-dernier jour, …, puis le 2ème jour, et enfin le 1er jour de la période visée par l’annonce du professeur, en considérant que l’examen ne peut survenir par surprise aucun de ces jours-là. Après avoir éliminé ainsi tous les jours de la période par un raisonnement basé sur une induction-arrière (backward induction argument), l’étudiant conclut alors que l’examen ne peut avoir lieu aucun jour de la période considérée. Mais ceci a précisément pour effet de permettre à la surprise de se produire, notamment si l’examen survient le dernier jour, puisque l’étudiant s’attend alors à ce que l’examen n’ait pas lieu. De manière tout à fait plausible, une telle situation correspond alors à un cas de surprise. Dans une telle situation, l’erreur de raisonnement, ainsi que l’a fait valoir Quine (1953), réside dans le fait que l’étudiant n’a pas considéré comme un cas possible le fait que l’examen survienne par surprise le dernier jour. Cependant, puisqu’une telle situation est finalement susceptible de se présenter, l’étudiant aurait dû la prendre en considération depuis le début, ce qui l’aurait alors empêché d’éliminer successivement les jours nn-1, n-2, …, 2, puis 1 [3]. On peut remarquer en outre que la notion de surprise associée à une structure conjointe est une notion de surprise totale. On se trouve en effet en présence le dernier jour de non-surprise ou de surprise totale, sans qu’il existe dans ce cas de situations intermédiaires.

En second lieu, il s’avère que la surprise aurait pu également correspondre à une définition disjointe des cas de non-surprise et de surprise. Une telle définition correspond au cas où la non-surprise et la surprise ne sont pas possibles le même jour. L’intuition sur laquelle repose une telle conception de la surprise est la suivante : supposez que l’on vous annonce que vous allez subir dans l’année un examen, tout en ignorant par ailleurs le jour précis où il se déroulera. Dans un tel cas, ne résulte-t-il pas de notre expérience que l’examen peut véritablement se produire par surprise, de nombreux jours de l’année, par exemple un jour quelconque des six premiers mois. Un tel phénomène constitue un fait concret qui correspond à l’expérience individuelle de chacun d’entre nous. Dans l’énoncé classique du paradoxe de l’examen-surprise, la période considérée n’est pas aussi longue qu’une année, mais correspond classiquement à une semaine. Cependant, dans ce dernier cas, l’énoncé du paradoxe laisse également place, bien qu’à un moindre degré, à une telle conception de la surprise associée à une structure disjointe des cas de non-surprise et de surprise. En effet, il apparaît ainsi que l’examen peut effectivement survenir par surprise, par exemple le 2ème jour de la semaine. Le 2ème jour constitue ainsi une instance propre de surprise. Parallèlement, le dernier jour constitue une instance propre de non-surprise, puisqu’il résulte de l’énoncé que l’examen ne peut avoir lieu ce jour-là par surprise. Ainsi, le dernier jour correspond à une instance propre de non-surprise, et de même, les 1er et 2ème jours constituent des instances propres de surprise. Cependant, à ce stade, il apparaît également que le statut des autres jours de la période correspondante n’est pas déterminé. Ainsi, une telle structure disjointe des cas de non-surprise et de surprise est à la fois disjointe et non-exhaustive. Par conséquent, il apparaît que la notion de surprise correspondante présente ici les critères d’une notion vague. Et ceci met en lumière le raisonnement que l’étudiant aurait dû tenir. La notion de surprise associée à une structure conjointe étant une notion vague, il existe nécessairement une zone de pénombre entre les instances propres de non-surprise et de surprise, qui correspond à l’existence de cas limites. Une telle zone de pénombre peut résulter de l’existence de degrés de surprise, ou bien de cas dont la nature de non-surprise ou de surprise, bien que déterminée avec précision, n’est cependant pas accessible à notre connaissance. Mais dans tous les cas, il existe bien une zone de pénombre associée à des cas limites, dans la structure de la définition de la surprise correspondante. Et la seule existence de ces cas limites interdit d’éliminer successivement, par un raisonnement basé sur une induction-arrière, les jours nn-1, n-2, …, 2, puis 1. On le voit, à la différence de la notion de surprise précédente, la notion de surprise qui est associée à une structure conjointe conduit ici à l’existence de cas intermédiaires entre la non-surprise et la surprise.

Finalement, il apparaît que le fait d’envisager successivement les deux notions différentes de surprise qui peuvent correspondre à l’annonce du professeur, conduit à rejeter dans les deux cas le raisonnement classique de l’étudiant qui le conduit à éliminer successivement tous les jours de la semaine. Ici, la motivation pour rejeter le raisonnement de l’étudiant se révèle différente pour chacune des deux notions de surprise, mais dans les deux cas, il s’ensuit une conclusion convergente qui conduit au rejet du raisonnement de l’étudiant basé sur une induction-arrière.

 

  1. Les différents cas de surprise

Les éléments du paradoxe et une analyse simplifiée ayant été présentés, il convient maintenant de s’attacher à décrire en détail la présente solution pour SEP. Commençons tout d’abord avec la notion de surprise[4]. Qu’est-ce qui constitue véritablement un cas de surprise? Comment la surprise peut-elle être définie dans le contexte de SEP? En premier lieu, on peut observer que la surprise apparaît de manière claire lorsque l’examen survient le jour k et que l’étudiant ne prévoit pas que l’examen se déroulera le jour k. La situation correspondante peut revêtir deux formes différentes : soit (a) l’examen survient le jour k mais l’étudiant prédit que l’examen aura lieu un jour p différent de k (formellement, p ¹ k, avec 1 £ p £ n) ; soit (b) l’examen survient de même le jour k mais l’étudiant considère que l’examen n’aura pas lieu du tout (la prédiction associée est alors dénotée par p = 0). Ces deux situations peuvent être prises en compte de manière unifiée, en considérant de manière générale que la surprise se présente sans ambiguïté lorsque l’examen survient le jour k et que l’étudiant prédit que l’examen surviendra un jour p qui est lui-même différent de k (formellement, p ¹ k, avec 0 £ p £ n). De manière intuitive, dans cette dernière situation, la surprise provient du fait que l’étudiant a effectué une prédiction erronée. Ainsi, une telle situation peut être dénommée surprise par erreur.

Alors que la prédiction correspondante est fausse en cas de surprise par erreur, il est utile de distinguer également selon qu’une telle prédiction est justifiée ou non. En effet, la prédiction correspondante peut par exemple être effectuée au hasard. Dans ce cas, une telle prédiction n’est pas justifiée. En revanche, il est possible également que l’étudiant effectue une prévision fausse, mais qui s’avère cependant justifiée. Il s’agit là d’un type de surprise par erreur qui correspond en particulier au cas où l’examen a lieu le jour i et où l’étudiant a prédit de manière erronée mais pourtant justifiée (par l’annonce du professeur et le raisonnement qui en résulte) que l’examen n’aurait lieu aucun jour de la semaine et donc n’aurait pas lieu le jour i. On le voit, dans un tel cas, la prédiction effectuée par l’étudiant est à la fois fausse et justifiée. Cependant, la justification correspondante se révèle inadéquate. Un tel cas peut être dénommé surprise par justification inadéquate.

On peut considérer également un autre type de situation, où la surprise peut survenir alors même que la prédiction effectuée par l’étudiant se révèle vraie. Pour mettre en échec l’annonce du professeur, l’étudiant décide ainsi de mettre en œuvre la stratégie suivante ; le jour 1, je prédirai que l’examen se déroulera le jour 1 ; le jour 2, je prédirai que l’examen se déroulera le jour 2 ; … ; le jour n, je prédirai que l’examen se déroulera le jour n. De la sorte, pense l’étudiant, je suis sûr que ma prédiction sera toujours vraie. Appelons une telle stratégie incrémentale. Il apparaît en effet que cette dernière stratégie a pour conséquence que la prédiction correspondante se révélera systématiquement vraie[5]. Dans ces conditions, on observe tout d’abord que la surprise par erreur ne peut plus se manifester. Cependant, la surprise n’est elle pas possible malgré tout lorsque la stratégie incrémentale est mise en œuvre? La situation correspondante peut être mise en évidence de manière plus nette en considérant par exemple 365-SEP [6]. Dans ce cas, quelle que soit la date finale de l’examen, la prédiction de l’étudiant se révélera vraie, à cause de la stratégie incrémentale utilisée par ce dernier. Toutefois, on peut considérer que l’examen pourra quand même survenir par surprise dans de telles circonstances, par exemple le jour 127. Certes, la prédiction de l’étudiant se révélera vraie. Mais cette dernière prédiction ne sera pas motivée, de sorte que la prédiction correspondante se révélera finalement injustifiée. Par conséquent, on peut considérer que la surprise peut également survenir dans le contexte où la stratégie incrémentale est mise en œuvre. Mais ce dernier type de surprise, à la différence de la surprise par erreur, n’est pas dû à une prédiction erronée. La surprise qui apparaît dans le contexte de la stratégie incrémentale est due au défaut de justification de la prédiction correspondante. Par conséquent, ce type de surprise peut être dénommé surprise par non-justification.

A ce stade, nous sommes désormais en mesure de donner une définition de la notion de surprise. Une telle définition inclut les trois types de surprise qui viennent d’être mentionnés : la surprise par erreur, par justification inadéquate et par non-justification. Ceci conduit à distinguer finalement cinq types de prévisions : (a) vraie et justifiée de manière adéquate ; (b) vraie et non justifiée ; (c) vraie et justifiée de manière inadéquate ; (d) fausse et non justifiée ; (e) fausse et justifiée de manière inadéquate. On le voit, la non-surprise correspond à (a) une prévision qui est à la fois vraie et justifiée de manière appropriée. De même, il s’ensuit une définition de la surprise dont la structure est disjonctive : la surprise correspond ainsi à une prévision (b) vraie et non justifiée, (c) justifiée de manière inadéquate, (d) fausse et non justifiée, ou bien (e) justifiée de manière inadéquate.

Dans ce qui suit, la prévision p effectuée le jour d sera dénotée par dapb (avec 1 £ d £ n, 0 £ p £ n, a Î {0, 1}, et b Î {-1, 0, 1}), avec a = 1 si l’examen a lieu le jour d ou a = 0 si l’examen n’a pas lieu le jour d ; et b = -1 si la prévision de l’étudiant est injustifiée, b= 0 si sa prévision est justifiée de manière inadéquate, b = 1 si la prévision de l’étudiant est justifiée de manière adéquate. Par commodité, on utilisera respectivement {°, *} pour dénoter les valeurs {0, 1} prises par a et {-, °, *} pour dénoter les valeurs {-1, 0, 1} prises par b. Avec cette notation, la surprise par erreur est dénotée par k*pb (avec 1 £ k £ n, 0 £ p £ n et k ¹ p), la surprise par non-justification par k*p– (avec 1 £ k £ n, 0 £ p £ n), la surprise par justification inadéquate par k*p°. Enfin, la non-surprise est dénotée par k*k*. Le tableau ci-dessous synthétise l’ensemble des situations ainsi décrites :

 

cas prévision forme valeurs exemple description
 

non-surprise

vraie et justifiée de manière adéquate k*k* a = 1

b = 1

 

7*7* l’examen a eu lieu le 7ème jour et l’étudiant a prédit de manière exacte et avec une justification adéquate que l’examen aurait lieu le 7ème jour
 

 

 

 

 

 

surprise

vraie et non justifiée k*k a = 1

b = -1

6*6- l’examen a eu lieu le 6ème jour et l’étudiant a prédit, de manière exacte mais sans justification, que l’examen aurait lieu le 6ème jour
vraie et justifiée de manière inadéquate k*k°

 

a = 1

b = 0

6*6° l’examen a eu lieu le 6ème jour et l’étudiant a prédit, de manière exacte mais avec une justification inadéquate, que l’examen aurait lieu le 6ème jour
fausse et non justifiée k*p

k ¹ p

a = 1

b = -1

6*7- l’examen a eu lieu le 6ème jour et l’étudiant a prédit de manière erronée et non justifiée que l’examen aurait lieu le 7ème jour
fausse et justifiée de manière inadéquate k*p°

k ¹ p

a = 1

b = 0

6*0° l’examen a eu lieu le 6ème jour et l’étudiant a prédit de manière erronée et avec une justification inadéquate que l’examen n’aurait lieu aucun jour de la semaine

 

Enfin, on pourra remarquer que la définition de la surprise qui précède est basée sur des instances positives, c’est-à-dire des cas où l’examen survient véritablement. Ainsi, k*0b et k*kb dénotent un cas où l’examen se déroule véritablement le jour k (a = 1). En effet, les prévisions correspondant à un jour où l’examen ne survient pas (a = 0) ne sont pas prises en considération. De telles prévisions qui correspondent à une prédiction effectuée un jour k où l’examen ne survient pas présentent la structure k°pb. Mais ces derniers cas correspondent à des instances négatives (l’examen n’a pas lieu le jour considéré) et leur cas peut par conséquent être légitimement ignoré.

 

  1. Analyse moniste ou dichotomique du paradoxe

La plupart des analyses classiquement proposées pour résoudre SEP sont basées sur une solution générale qui s’applique, de manière globale, à la situation qui est celle de SEP. Dans ce type d’analyse, une solution unique est présentée, qui est censée s’appliquer à toutes les variations de SEP. Un tel type de solution présente une nature unitaire et se révèle basée sur ce qu’on peut appeler une théorie moniste de SEP. La plupart des solutions pour SEP proposées dans la littérature constituent des analyses monistes. Des exemples caractéristiques de ce type d’analyse de SEP sont les solutions proposées par Quine (1953) ou Binkley (1968). De manière analogue, la solution envisagée par Dietl (1973) qui est basée sur une réduction de SEP au paradoxe sorite constitue également une solution moniste pour SEP.

A l’inverse, une analyse dichotomique de SEP est basée sur une distinction entre deux scénarios différents de SEP et sur la formulation d’une solution indépendante pour chacun des deux scénarios. Dans la littérature, la seule analyse qui présente une nature dichotomique, à ma connaissance, est celle de Wright et Sudbury mentionnée plus haut. Dans ce qui suit, je présenterai une solution dichotomique pour SEP. Cette solution est basée sur la distinction de deux variations de SEP, associées à des notions de surprise correspondant à des structures différentes des cas de non-surprise et de surprise.

A ce stade, il s’avère utile d’introduire la notation matricielle. Si l’on considère par exemple 7-SEP, les différents cas de non-surprise et de surprise peuvent être modélisés à l’aide du tableau S[ks] suivant, où k dénote le jour où l’examen a lieu et S[ks] dénote si le cas correspondant de non-surprise (s = 0) ou de surprise (s = 1) est rendu possible (S[ks] = 1) ou non (S[ks] = 0) par les conditions de l’énoncé (pour 1 £ k £ n). Dans ce contexte, S[7, 1] = 0 dénote par exemple le fait que la surprise n’est pas possible le 7ème jour, et inversement, S[7, 1] = 1 dénote le fait que la surprise est possible le 7ème jour ; de même, S[1, 0] = 0 dénote le fait que la non-surprise n’est pas possible le 1er jour par les conditions  de l’énoncé, et inversement, S[1, 0] = 1 dénote le fait que la non-surprise est possible le 1er jour.

La dichotomie sur laquelle est basée la présente solution résulte directement de l’analyse de la structure qui permet de décrire la notion de surprise correspondant à l’énoncé de SEP. Considérons tout d’abord la matrice suivante, qui correspond à une définition maximale, où tous les cas de non-surprise et de surprise sont rendus possibles par l’annonce du professeur :

 

(D1) S[k, 0] S[k, 1]
S[7,s] 1 1
S[6,s] 1 1
S[5,s] 1 1
S[4,s] 1 1
S[3,s] 1 1
S[2,s] 1 1
S[1,s] 1 1

 

Au niveau de (D1), on le voit, toutes les valeurs de la matrice S[ks] sont égales à 1, ce qui correspond au fait que tous les cas de non-surprise et de surprise sont rendus possibles par la version de SEP correspondante. La matrice associée peut être définie ainsi comme une matrice rectangulaire.

A ce stade, il s’avère que l’on peut concevoir des variations de SEP associées à des structures matricielles plus restrictives, où certains cas de non-surprise et de surprise ne sont pas autorisés par l’énoncé. Dans de tels cas, certaines valeurs de la matrice sont égales à 0. Il convient maintenant de s’intéresser à la structure de ces définitions plus restrictives. Ces dernières sont telles qu’il existe au moins un cas de non-surprise ou de surprise qui est rendu impossible par l’énoncé, et où la valeur correspondante de la matrice S[ks] est donc égale à 0. Une telle condition laisse place à un certain nombre de variations, dont il convient maintenant d’étudier les caractéristiques.

De manière préliminaire, on peut remarquer que certains types de structures peuvent d’emblée être écartés. Il apparaît en effet que toute définition associée à une restriction de (D1) ne convient pas. Ainsi, il existe des conditions minimales pour l’émergence de SEP. En ce sens, une première condition est que l’étape de base soit présente. Cette étape de base est telle que la non-surprise doit pouvoir survenir le dernier jour, soit S[n, 0] = 1. Avec la notation précédemment définie, elle présente la forme générale n*n* et correspond à 7*7* pour 7-SEP. En l’absence de cette étape de base, on n’a pas l’effet paradoxal de SEP. En conséquence, une structure de matrice telle S[n, 0] = 0 peut être d’emblée éliminée.

Une seconde condition pour que l’énoncé conduise à une version authentique de SEP est que l’examen puisse finalement survenir par surprise. Ceci permet en effet à l’annonce du professeur d’être finalement vérifiée (vindication step). Une telle condition – appelons-la l’étape de validation – est classiquement mentionnée comme une condition pour l’émergence du paradoxe. Ainsi, une définition qui serait telle que tous les cas de surprise sont rendus impossibles par l’énoncé correspondant ne conviendrait également pas. Ainsi, la structure correspondant à la matrice suivante ne correspondrait pas non plus à un énoncé de SEP :

 

(D2) S[k, 0] S[k, 1]
S[7,s] 1 0
S[6,s] 1 0
S[5,s] 1 0
S[4,s] 1 0
S[3,s] 1 0
S[2,s] 1 0
S[1,s] 1 0

 

car la surprise n’y est possible aucun jour de la semaine (S[k, 1] = 0) et l’étape de validation fait donc défaut à l’énoncé correspondant.

Compte tenu de ce qui vient d’être exposé, on peut maintenant décrire de manière précise les conditions minimales qui sont celles de SEP :

 

(C3)   S[n, 0] = 1 (étape de base)

(C4)   $k (1 £ k £ n) tel que S[k, 1] = 1 (étape de validation)

 

A ce stade, on peut s’intéresser à la structure des versions de SEP basées sur les définitions qui satisfont les conditions minimales pour l’émergence du paradoxe qui viennent d’être détaillées, c’est-à-dire qui contiennent à la fois l’étape de base et l’étape de validation. Il apparaît ici que la structure associée aux cas de non-surprise et de surprise correspondant à une variation de SEP peut présenter deux formes d’une nature fondamentalement différente. Une première forme de SEP est associée à une structure où les cas possibles de non-surprise et de surprise sont tels qu’il existe durant la n-période au moins un jour où la non-surprise et la surprise sont possibles simultanément. Une telle définition peut être appelée conjointe. La matrice suivante constitue un exemple de ce type de structure :

 

(D5) S[k, 0] S[k, 1]
S[7,s] 1 1
S[6,s] 1 1
S[5,s] 1 1
S[4,s] 1 1
S[3,s] 0 1
S[2,s] 0 1
S[1,s] 0 1

 

car la non-surprise et la surprise y sont possibles simultanément le 7ème, 6ème, 5ème et 4ème jours. Cependant, il s’avère que l’on peut rencontrer également une seconde forme de SEP dont la structure est fondamentalement différente, en ce sens que pour chaque jour de la n-période, il est impossible d’avoir simultanément la surprise et la non-surprise.[7] Une définition de cette nature peut être appelée disjointe. La matrice suivante constitue ainsi un exemple de ce type de structure :

 

(D6) S[k, 0] S[k, 1]
S[7,s] 1 0
S[6,s] 1 0
S[5,s] 1 0
S[4,s] 0 1
S[3,s] 0 1
S[2,s] 0 1
S[1,s] 0 1

 

En conséquence, on sera amené dans ce qui suit à distinguer deux versions structurellement distinctes de SEP : (a) une version basée sur une structure conjointe des cas de non-surprise et de surprise rendus possibles par l’énoncé ; (b) une version fondée sur une structure disjointe de ces mêmes cas. La nécessité d’opérer une telle dichotomie trouve sa légitimité dans le fait que dans la version originale de SEP, le professeur ne précise pas si l’on doit prendre en compte une notion de surprise correspondant à une structure disjointe ou conjointe des cas de non-surprise et de surprise. Eu égard à ce point particulier, l’énoncé de SEP se révèle ambigu. Par conséquent, il est nécessaire de considérer successivement deux notions différentes de surprise, respectivement basées sur une structure disjointe ou conjointe des cas de non-surprise et de surprise, ainsi que le raisonnement qui doit leur être associé.

 

  1. La notion de surprise correspondant à une structure conjointe

Considérons tout d’abord le cas où SEP est basé sur une notion de surprise correspondant à une structure conjointe des cas de non-surprise et de surprise. Soit SEP(I) la version associée à une telle notion de surprise. Intuitivement, cette version correspond à une situation où il existe dans la n-période au moins un jour où la non-surprise et la surprise peuvent à la fois survenir. Plusieurs types de définitions sont susceptibles de répondre à ce critère. Il convient de les examiner tour à tour.

 

5.1 La définition associée à la matrice rectangulaire et la solution de Quine

En premier lieu, on peut s’intéresser aux structures qui sont telles que tous les cas de non-surprise et de surprise sont rendus possibles par l’énoncé. La matrice correspondante est une matrice rectangulaire. Soit donc SEP(I□) une telle version. La définition associée à une telle structure est maximale car tous les cas de non-surprise et de surprise y sont autorisés. La matrice suivante correspond ainsi à une telle structure générale :

 

(D7) S[k, 0] S[k, 1]
S[7,s] 1 1
S[6,s] 1 1
S[5,s] 1 1
S[4,s] 1 1
S[3,s] 1 1
S[2,s] 1 1
S[1,s] 1 1

 

et l’annonce du professeur qui lui est associée est la suivante :

 

(S7) Un examen se déroulera la semaine prochaine mais la date de l’examen constituera une surprise.

 

A ce stade, il apparaît que l’on a également une version de SEP pour n = 1 qui satisfait cette définition. La structure associée à 1-SEP(I□) est la suivante :

 

(D8) S[1, 0] S[1, 1]
S[1,s] 1 1

 

qui correspond à l’annonce suivante du professeur :

 

(S8) Un examen se déroulera demain mais la date de l’examen constituera une surprise.

 

Ainsi, 1-SEP(I□) est la version minimale de SEP qui satisfait non seulement la condition ci-dessus, mais également l’étape de base (C3) selon laquelle la non-surprise doit pouvoir survenir le dernier jour, ainsi que l’étape de validation (C4) en vertu de laquelle l’examen peut finalement survenir par surprise. De plus, il s’agit là d’une variation qui exclut, par sa structure même, l’émergence de la version de SEP basée sur une notion de surprise correspondant à une structure disjointe. Pour cette raison, (D8) peut être considérée comme la forme canonique de SEP(I□). Ainsi, il s’agit là du véritable noyau de SEP(I□) et dans ce qui suit, on s’attachera donc à raisonner sur 1-SEP(I□).

A ce stade, il convient de s’attacher à donner une solution à SEP(I□). Pour cela, rappelons tout d’abord la solution de Quine. La solution pour SEP proposée par Quine (1953) est bien connue. Quine met en évidence le fait que l’étudiant élimine successivement les jours nn-1, …, 1, par un raisonnement basé sur une induction-arrière et conclut ensuite que l’examen n’aura pas lieu dans la semaine. L’étudiant raisonne ainsi. Le jour n, je prédirai que l’examen aura lieu le jour n, et par conséquent l’examen ne peut avoir lieu le jour n ; le jour n-1, je prédirai que l’examen aura lieu le jour n-1, et par conséquent l’examen ne peut avoir lieu le jour n-1 ; … ; le jour 1, je prédirai que l’examen aura lieu le jour 1, et par conséquent l’examen ne peut avoir lieu le jour 1. Finalement, l’étudiant conclut que l’examen n’aura lieu aucun jour de la semaine. La séquence des prédictions successives de l’étudiant est donc : 1a0b, 2a0b, 3a0b, …, (n-1)a0b, na0b. Ce dernier prévoit ainsi que l’examen n’aura lieu aucun jour de la semaine. Mais cette dernière conclusion permet finalement à l’examen de survenir par surprise, y compris le jour n. Selon Quine, l’erreur dans le raisonnement de l’étudiant réside précisément dans le fait de n’avoir pas pris en compte cette possibilité depuis le début. Car dans cette dernière hypothèse, l’étudiant aurait alors envisagé les deux principales hypothèses qui sont n*n* (“le dernier jour, je prévoirai que l’examen ne pourra pas avoir lieu par surprise”) et n*0° (“le dernier jour, je prévoirai que l’examen n’aura lieu aucun jour de la semaine”), au lieu de la seule hypothèse n*n*, en empêchant ainsi le raisonnement fallacieux[8].

Quine d’autre part applique directement son analyse à la forme canonique 1-SEP(I□), où l’énoncé correspondant est celui de (S8). Dans ce cas, l’erreur de l’étudiant réside, selon Quine, dans le fait de n’avoir considéré qu’une seule hypothèse, à savoir 1*1*. En fait, l’étudiant aurait dû considérer 4 cas (a) 1*1* (“je prévois que l’examen ne pourra pas avoir lieu demain par surprise”) ; (b) 1°1b ; (c) 1°0b ; (d) 1*0° (“je prévois que l’examen n’aura pas lieu demain”). Et le fait de considérer l’hypothèse (a) mais également l’hypothèse (d) qui est compatible avec l’annonce du professeur aurait empêché l’étudiant de conclure que l’examen n’aurait finalement pas lieu[9]. Par conséquent, c’est le fait de n’avoir pris en considération que l’hypothèse (a) qui peut être identifié comme la cause du raisonnement fallacieux. Ainsi, l’étudiant n’a pris que partiellement en compte l’ensemble des hypothèses résultant de l’annonce du professeur. S’il avait appréhendé la totalité des hypothèses pertinentes compatibles avec l’annonce du professeur, il n’aurait pas conclu de manière fallacieuse que l’examen n’aurait pas lieu dans la semaine.

A ce stade, il s’avère utile de décrire le raisonnement de l’étudiant en termes de reconstitution de matrice. Car on peut considérer que le raisonnement de l’étudiant le conduit à reconstituer la matrice correspondant à la notion de surprise de la manière suivante :

 

(D9) S[1, 0] S[1, 1]
S[1,s] 1 0

 

alors qu’en réalité, il aurait dû le faire de la façon correcte suivante :

 

(D8) S[1, 0] S[1, 1]
S[1,s] 1 1

 

Dans ce contexte, il apparaît clairement que la solution de Quine s’applique de manière adéquate à la version de SEP(I□) basée sur la surprise par erreur ainsi qu’elle vient d’être définie. En raisonnant par rapport à 1‑SEP(I□), la non-surprise correspond aux cas suivants : S[1, 0] = {1*1*}. Et de même, la surprise correspond aux cas où l’étudiant prédit chaque jour – de manière fausse mais justifiée – que l’examen n’aura lieu aucun jour de la semaine : S[1, 1] = {1*0°}. Il s’agit là du cas de surprise (e) où la prévision correspondante est fausse et justifiée de manière inadéquate. On le voit, le cas de surprise (e) auquel s’applique la solution de Quine correspond bien à un raisonnement tout à fait plausible et naturel dans le cadre de SEP [10].

 

 

5.2 La définition associée à la matrice triangulaire et la réduction de Hall

On l’a vu, la solution de Quine s’applique directement à SEP(I□), c’est-à-dire à une version de SEP basée sur une définition conjointe de la surprise et une matrice rectangulaire. Il convient maintenant de s’intéresser à des variations de SEP basées sur une définition conjointe mais où la structure de la matrice correspondante n’est pas rectangulaire, tout en satisfaisant cependant les conditions pour l’émergence du paradoxe mentionnées plus haut, à savoir la présence de l’étape de base (C3) et de l’étape de validation (C4). De telles matrices présentent une structure que l’on peut qualifier de triangulaire. Soit donc SEP(I∆) la version correspondante.

On peut considérer tout d’abord 7-SEP(I∆), où la structure des cas possibles de non-surprise et de surprise correspond à la matrice ci-dessous :

 

(D10) S[k, 0] S[k, 1]
S[7,s] 1 0
S[6,s] 1 1
S[5,s] 1 1
S[4,s] 1 1
S[3,s] 1 1
S[2,s] 1 1
S[1,s] 1 1

 

et à l’annonce du professeur suivante :

 

(S10) Un examen se déroulera la semaine prochaine mais la date de l’examen constituera une surprise. De plus, le fait que l’examen aura lieu constitue une certitude absolue.

 

Une telle annonce se révèle identique à l’énoncé précédent auquel s’applique la solution de Quine, avec cependant une importante différence : l’étudiant possède désormais la certitude que l’examen doit survenir. Et ceci a pour effet de rendre impossible que la surprise survienne le dernier jour. Pour cette raison, on note que S[7, 1] = 0 dans la matrice correspondante. La structure générale correspondant à ce type de définition est :

 

(D11) S[k, 0] S[k, 1]
S[n,s] 1 0
S[n-1,s] 1 1
………… ………… …………

 

Et de même, on peut considérer la structure canonique (d’où la dénomination de structure triangulaire trouve sa justification) suivante, qui est celle de SEP(I∆) et qui correspond donc à 2-SEP(I∆) :

 

(D12) S[k, 0] S[k, 1]
S[2,s] 1 0
S[1,s] 1 1

 

Une telle structure correspond à l’annonce du professeur suivante :

 

(S12) Un examen se déroulera dans les deux prochains jours, mais la date de l’examen constituera une surprise. De plus, le fait que l’examen aura lieu constitue une certitude absolue.

 

On le voit, l’étudiant ne peut qu’être justifié ici le dernier jour, de manière appropriée, dans sa croyance que l’examen surviendra le dernier jour. Car la clause supplémentaire de l’énoncé selon laquelle il est absolument certain que l’examen se déroulera interdit à tous les cas de surprise de se manifester le dernier jour. Une telle version correspond notamment à la variation de SEP décrite par A. J. Ayer. La version correspondante est la suivante. Le joueur est autorisé à vérifier, avant que le paquet de cartes mélangé, qu’il contient bien l’as, le 2, le 3, …, le 7 de Pique. Et il est annoncé que le joueur ne pourra pas prévoir à l’avance et de manière justifiée, quand l’as de Pique sera découvert. Enfin les cartes, initialement cachées, sous découvertes une par une. Une telle version a pour but de rendre impossible, avant que la 7ème carte ne soit découverte, la croyance selon laquelle l’as de pique ne sera pas découvert. Et ceci a pour effet d’interdire à la solution de Quine de s’appliquer le dernier jour.

On peut remarquer ici que la clause additionnelle selon laquelle il est absolument certain que l’examen se déroulera pourrait être également remplacée, avec un effet équivalent, pas une formulation du type “Toutefois, si l’examen survient le dernier jour de la semaine, la prévision de l’étudiant sera effectuée après l’examen lui-même”. Une telle clause se révèle encore plus rigoureuse que celle décrite par Ayer et interdit ainsi à la surprise de se manifester le dernier jour.

Il convient maintenant de présenter une solution pour les versions de SEP associées à des structures correspondant à (D11). Une telle solution est basée sur une réduction récemment exposée par Ned Hall, dont il convient préalablement de rappeler le contexte. Dans la version de SEP considérée par Quine (1953), il apparaît clairement que le fait que l’étudiant doute que l’examen aura bien lieu dans la semaine, à une certaine étape du raisonnement, est autorisé. Quine ainsi se place délibérément dans une situation où l’étudiant dispose de la faculté de douter que l’examen aura véritablement lieu dans la semaine. Les versions décrites par Ayer (1973), Janaway (1989) mais aussi Scriven (1951) traduisent l’intention d’empêcher cette étape particulière dans le raisonnement de l’étudiant. De tels scénarios correspondent, dans l’esprit, à SEP(I∆). On peut également y rattacher la variation du Designated Student Paradox décrite par Sorensen (1982, 357)[11], où cinq étoiles – une étoile d’or et quatre étoiles d’argent – sont attribuées à cinq étudiants, sachant qu’il est indubitable que l’étoile d’or est placée au dos de l’étudiant qui a été désigné (designated student).

Cependant, Ned Hall (1999, 659-660) a récemment exposé une réduction, qui tend à réfuter les objections classiquement opposées à la solution de Quine. L’argumentation développée par Hall est la suivante :

 

We should pause, briefly, to dispense with a bad – though oft-cited – reason for rejecting Quine’s diagnosis. (See for example Ayer 1973 and Janaway 1989). Begin with the perfectly sound observation that the story can be told in such a way that the student is justified in believing that, come Friday, he will justifiably believe that an exam is scheduled for the week. Just add a second Iron Law of the School : that there must be at least one exam each week. (…) Then the first step of the student’s argument goes through just fine. So Quine’s diagnosis is, evidently, inapplicable.

Perhaps – but in letter only, not in spirit. With the second Iron Law in place, the last disjunct of the professor’s announcement – that E5 & ØJ(E5) – is, from the student’s perspective, a contradiction. So, from his perspective, the content of her announcement is given not by SE5 but by SE4 : (E1 & ØJ1(E1)) Ú … Ú (E4 & ØJ4(E4)). And now Quine’s diagnosis applies straightforwardly : he should simply insist that the student is not justified in believing the announcement and so, come Thursday morning, not justified in believing that crucial part of it which asserts that if the exam is on Friday then it will come as a surprise – which, from the student’s perspective, is tantamount to asserting that the exam is scheduled for one of Monday through Thursday. That is, Quine should insist that the crucial premise that J4(E1 Ú E2 Ú E3 Ú E4) is false – which is exactly the diagnosis he gives to an ordinary 4-day surprise exam scenario. Oddly, it seems to have gone entirely unnoticed by those who press this variant of the story against Quine that its only real effect is to convert an n-day scenario into an n-1 day scenario.

 

Hall met ainsi en parallèle deux types de situations. La première correspond à la situation, basée sur la surprise par erreur, dans laquelle l’analyse de Quine trouve classiquement sa place. La seconde correspond au type de situation envisagé par les opposants à la solution de Quine et en particulier Ayer (1973) et Janaway (1989). Dans cette dernière hypothèse, une version plus forte de SEP est prise en compte où on considère une seconde Règle d’Or de l’Ecole (Iron Law of the School), où il est admis que l’examen aura nécessairement lieu pendant la semaine. L’argumentation développée par Hall conduit à la réduction d’une version de n-SEP du second type à une version de (n-1)-SEP de type quinéen. Cette équivalence a pour effet d’annihiler les objections des opposants à la solution de Quine[12]. Car l’effet de cette réduction est de rendre finalement possible l’application de la solution de Quine dans les situations décrites par Ayer et Janaway. Dans l’esprit, le scénario envisagé par Ayer et Janaway correspond ainsi à une situation où la surprise n’est pas possible le jour n (c’est-à-dire S[n, 1] = 0). Ceci a effectivement pour effet de neutraliser la solution de Quine basée sur n-SEP(I□). Mais la réduction de Hall trouve alors à s’appliquer. Et son effet est de réduire un scénario correspondant à (D11) à une situation basée sur (D8). En conséquence, la réduction de Hall permet de réduire n-SEP(I∆) à (n-1)-SEP(I□). Elle a pour effet que toute version de SEP(I∆) pour une n-période se réduit à une version de SEP(I□) pour une (n-1)période (formellement n-SEP(I∆) º(n-1)-SEP(I□) pour n > 1). Ainsi, la réduction de Hall permet d’appliquer finalement la solution de Quine à SEP(I∆) [13].

 

  1. La notion de surprise correspondant à une structure disjointe

Il convient maintenant de s’intéresser au cas où la notion de surprise est basée sur une structure disjointe des cas possibles de non-surprise et de surprise. Soit SEP(II) la version correspondante. Intuitivement, une telle variation correspond à une situation où pour un jour donné de la n-période, il n’est pas possible d’avoir à la fois la non-surprise et la surprise. La structure de la matrice associée est telle que l’on a chaque jour, de manière exclusive, soit la non-surprise, soit la surprise.

A ce stade, il apparaît qu’une question préliminaire peut être posée : la solution de Quine ne peut-elle pas s’appliquer à SEP(II)? L’analyse précédente de SEP(I) montre toutefois qu’une condition nécessaire pour que la solution de Quine trouve à s’appliquer est qu’il existe durant la n-période au moins un jour où la non-surprise et la surprise sont à la fois possibles. Or une telle propriété est celle d’une structure conjointe et correspond à la situation qui est celle de SEP(I). Mais dans le présent contexte qui est celui d’une structure disjointe, la matrice associée vérifie à l’inverse “k S[k, 0] + S[k, 1] = 1. Par conséquent, ceci interdit à la solution de Quine de s’appliquer à SEP(II).

De même, on pourrait se poser la question de savoir si la réduction de Hall ne peut pas non plus s’appliquer à SEP(II). Ainsi, n’a-t-on donc pas une réduction de SEP(II) pour une n-période à SEP(I) pour une (n-1)-période? Il apparaît également que non. En effet, comme on vient de le voir, la solution de Quine ne peut pas s’appliquer à SEP(II). Or l’effet de la réduction de Hall est de réduire un scénario donné à une situation où la solution de Quine trouve finalement à s’appliquer. Mais, étant donné que la solution de Quine ne peut s’appliquer dans le contexte de SEP(II), la réduction de Hall se trouve également dans l’impossibilité de produire son effet.

Etant donné que la solution de Quine ne s’applique pas à SEP(II), il convient de s’attacher à fournir une solution adéquate pour la version de SEP correspondant à notion de surprise associée à une structure disjointe des cas de non-surprise et de surprise. Pour ce faire, il s’avère nécessaire de décrire une version plausible de SEP correspondant à une structure disjointe, ainsi que la structure correspondant à la version canonique de SEP(II).

De manière préliminaire, on peut observer que la version minimale correspondant à une version disjointe de SEP est celle qui est associée à la structure suivante, soit 2-SEP(II) :

 

(D13) S[1, 0] S[1, 1]
S[2,s] 1 0
S[1,s] 0 1

 

Cependant, pour des raisons qui deviendront plus claires un peu plus loin, la version correspondante de SEP(II) ne possède pas un degré de réalisme et de plausibilité suffisant pour constituer une authentique version de SEP, c’est-à-dire susceptible d’induire en erreur notre raisonnement.

Afin de mettre en évidence la version canonique de SEP(II) et l’énoncé correspondant, il convient tout d’abord de considérer l’observation, effectuée par plusieurs auteurs[14], selon laquelle le paradoxe émerge nettement, dans le cas de SEP(II), lorsque n est grand. Une caractéristique intéressante de SEP(II) est en effet que le paradoxe émerge intuitivement de manière plus nette lorsque de grandes valeurs de n sont prises en compte. Une illustration frappante de ce phénomène nous est ainsi fournie par la variation du paradoxe qui correspond à la situation suivante, décrite par Timothy Williamson (2000, 139) :

 

Advance knowledge that there will be a test, fire drill, or the like of which one will not know the time in advance is an everyday fact of social life, but one denied by a surprising proportion of early work on the Surprise Examination. Who has not waited for the telephone to ring, knowing that it will do so within a week and that one will not know a second before it rings that it will ring a second later?

 

La variation suggérée par Williamson correspond à l’annonce faite à quelqu’un qu’il recevra un coup de téléphone dans la semaine, sans pouvoir toutefois déterminer à l’avance à quelle seconde précise celui-ci surviendra. Cette variation souligne comment la surprise peut se manifester, de manière tout à fait plausible, lorsque la valeur de n est élevée. L’unité de temps considérée par Williamson est ici la seconde, rapportée à une période qui correspond à une semaine. La valeur correspondante de n est ici très élevée et égale à 604800 (60 x 60 x 24 x 7) secondes. Ceci illustre comment une grande valeur de n permet à la variation correspondante de SEP(II) de prendre place d’une façon à la fois plausible et réaliste. Cependant, il n’est pas véritablement indispensable de prendre en compte une valeur aussi grande de n. En effet, une valeur de n égale à 365 convient également très bien. Dans ce contexte, l’annonce du professeur qui correspond à une structure disjointe est alors la suivante :

 

(S14) Un examen aura lieu dans l’année à venir mais la date de l’examen constituera une surprise.

 

La définition correspondante présente alors la structure ci-dessous :

 

(D14) S[1, 0] S[1, 1]
S[365,s] 1 0
………… ………… …………
S[1,s] 0 1

 

qui constitue une instance de la forme générale suivante :

 

(D15) S[1, 0] S[1, 1]
S[n,s] 1 0
………… ………… …………
S[1,s] 0 1

 

Cette dernière structure peut être considérée comme correspondant à la version canonique de SEP(II), pour n grand. Dans la situation particulière associée à cette version de SEP, il apparaît qu’au moins un cas de surprise (par exemple si l’examen survient le premier jour) permet de valider, de manière tout à fait réaliste, l’annonce du professeur.

La forme de SEP(II) qui s’applique à la version standard de SEP est 7-SEP(II), qui correspond à l’énoncé classique:

 

(S7) Un examen se déroulera la semaine prochaine mais la date de l’examen constituera une surprise.

 

mais avec cette différence avec la version standard que le contexte est exclusivement ici celui d’une notion de surprise associée à une structure disjointe.

On peut remarquer ici que le cas de surprise qui correspond à SEP(II) est, de même que pour SEP(I), celui où l’étudiant prédit chaque jour – de manière fausse mais justifiée par un raisonnement basé sur l’induction-arrière – que l’examen n’aura lieu aucun jour de la semaine. Il s’agit ainsi du cas de surprise (e) où la prévision correspondante est fausse et justifiée de manière inadéquate. En outre, dans le cas de SEP(II), l’étudiant peut également ne pas remettre en cause le fait que l’examen puisse avoir lieu, et rejeter seulement le fait que l’examen puisse avoir lieu par surprise. Chaque jour, il prévoit alors que l’examen aura lieu, mais en considérant que ce dernier n’aura pas lieu par surprise. L’étudiant est alors amené à conclure que l’examen ne peut avoir lieu par surprise aucun jour de la n-période. Par conséquent, la prédiction correspondante se révélera vraie. Cependant, cela n’empêche pas finalement l’examen de survenir par surprise, puisque la prédiction de l’étudiant, fondée sur un raisonnement basé sur l’induction-arrière, sera finalement justifiée de manière inadéquate. Ainsi, le cas de surprise concerné est ici le cas (c), qui correspond à une prédiction vraie et justifiée de manière inadéquate[15].

A ce stade, on est désormais à même de déterminer l’étape fallacieuse dans le raisonnement de l’étudiant. Pour cela, il est utile de décrire le raisonnement de l’étudiant en termes de reconstitution de matrice. Le raisonnement de l’étudiant le conduit en effet à attribuer une valeur pour S[k, 0] et S[k, 1]. Et lorsqu’il a connaissance de l’annonce du professeur, le raisonnement de l’étudiant le conduit en effet à reconstruire la matrice correspondante telle que tous les S[k, 0] = 1 et S[k, 1] = 0, de la manière suivante (pour n = 7) :

 

(D16) S[k, 0] S[k, 1]
S[7,s] 1 0
S[6,s] 1 0
S[5,s] 1 0
S[4,s] 1 0
S[3,s] 1 0
S[2,s] 1 0
S[1,s] 1 0

 

On peut noter ici que l’ordre de reconstitution se révèle indifférent. A ce stade, on est en mesure d’identifier l’erreur de raisonnement qui est à l’origine de la conclusion erronée de l’étudiant. Il apparaît en effet que l’étudiant n’a pas tenu compte du fait que la surprise correspond ici à une structure disjointe. En effet, il aurait dû considérer ici que le dernier jour correspond à une instance propre de non-surprise et donc que S[n, 0] = 1. De même, il aurait dû considérer que le 1er jour (par exemple) correspond à une instance propre de surprise et donc S[1, 1] = 1. Le contexte étant celui d’une structure disjointe, il aurait pu légitimement ajouter que S[n, 1] = 0 et S[1, 0] = 0. A ce stade, la matrice partiellement reconstituée aurait alors été la suivante :

 

(D17) S[k, 0] S[k, 1]
S[7,s] 1 0
S[6,s]
S[5,s]
S[4,s]
S[3,s]
S[2,s]
S[1,s] 0 1

 

L’étudiant aurait alors dû poursuivre son raisonnement de la manière suivante. Les instances propres de non-surprise et de surprise qui sont ici disjointes ne capturent pas en totalité la notion de surprise. Dans un tel contexte, la notion de surprise n’est pas capturée de manière exhaustive par l’extension et l’anti-extension de la surprise. Or une telle définition est conforme à la définition classique d’un prédicat vague, caractérisé par une extension et une anti-extension mutuellement exclusives et non-exhaustives[16]. Ainsi, la conception de la surprise associée une structure disjointe est celle d’une notion vague.

Ce qui précède permet maintenant d’identifier avec précision ce qui pêche dans le raisonnement de l’étudiant, lorsque la notion de surprise est une notion vague associée à une structure disjointe. Car l’erreur à l’origine du raisonnement fallacieux de l’étudiant réside dans l’absence de prise en compte du fait que la surprise correspond dans le cas d’une structure disjointe, à une notion vague, et comporte donc la présence d’une zone de pénombre correspondant à des cas-limites (borderline) entre la non-surprise et la surprise. Point n’est besoin ici de disposer d’une solution pour le paradoxe sorite. En effet, que ces cas-limites résultent d’une succession de degrés intermédiaires, d’une coupure précise entre la non-surprise et la surprise dont l’emplacement exact nous est impossible à connaître, etc. importe peu ici. Car dans tous les cas, l’existence des cas-limites interdit de conclure que S[k, 0] = 1, pour k ¹ 7 et k ¹ 1.

Plusieurs façons existent ainsi pour reconstituer la matrice en accord avec ce qui précède. L’une de ces façons (basée sur conception du vague fondée sur la logique floue) consiste à considérer qu’il existe une succession continue et graduelle de la non-surprise à la surprise. L’algorithme correspondant pour reconstituer la matrice est alors celui où le pas est donné par la formule 1/(np) où p correspond à une instance propre de surprise. Pour p = 3, on a ici 1/(7-3) = 0,25, avec S[3, 1] = 1. Et la matrice correspondante est ainsi la suivante :

 

(D18) S[k, 0] S[k, 1]
S[7,s] 1 0
S[6,s] 0,75 0,25
S[5,s] 0,5 0,5
S[4,s] 0,25 0,75
S[3,s] 0 1
S[2,s] 0 1
S[1,s] 0 1

 

où la somme des valeurs de la matrice associées à un jour donné est égale à 1. L’intuition qui préside à SEP(II) est ici que la non-surprise est totale le jour n, mais qu’il existe des degrés intermédiaires de surprise si (0 < si < 1), tels que plus on s’approche du dernier jour, plus l’effet de non-surprise est élevé. A l’inverse, l’effet de surprise est total dans les premiers jours, par exemple les jours 1, 2 et 3.

De manière alternative, on pourrait utiliser ici la notation équivalente suivante :

 

(D19) S[k, 0] S[k, 0,25] S[k, 0,5] S[k, 0,75] S[k, 1]
S[7,s] 1 0 0 0 0
S[6,s] 0 1 0 0 0
S[5,s] 0 0 1 0 0
S[4,s] 0 0 0 1 0
S[3,s] 0 0 0 0 1
S[2,s] 0 0 0 0 1
S[1,s] 0 0 0 0 1

 

avec une matrice associée qui comporte m colonnes, permettant ainsi un passage progressif de la non-surprise à la surprise, avec m-2 valeurs intermédiaires.

On peut remarquer ici que les définitions correspondant à SEP(II) qui viennent d’être décrites, sont telles qu’elles présentent une propriété de linéarité (formellement, “ki (1 < k £ n, 1 £ i < m, pour une matrice comportant m colonnes) si S[ksi] = 1 alors S[k-1, si] = 1 ou[17] S[k-1, si+1] = 1). Il apparaît en effet qu’une structure correspondant aux cas possibles de non-surprise et de surprise qui ne présenterait pas une telle propriété de linéarité, ne capturerait pas l’intuition correspondant à la notion de surprise. Pour cette raison, il paraît suffisant de limiter la présente étude aux structures de définitions satisfaisant cette propriété de linéarité.

On peut observer ici qu’une façon alternative de reconstituer la matrice correspondante aurait pu être utilisée. Il s’agit du cas où la nature vague de la surprise est déterminée par  l’existence d’une coupure précise entre les cas de non-surprise et de surprise, dont il ne nous est cependant pas possible de connaître l’emplacement exact. Dans ce cas, la matrice aurait pu être reconstituée par exemple de la manière suivante :

 

(D20) S[k, 0] S[k, 1]
S[7,s] 1 0
S[6,s] 1 0
S[5,s] 1 0
S[4,s] 0 1
S[3,s] 0 1
S[2,s] 0 1
S[1,s] 0 1

 

A ce stade, on peut se demander si la version du paradoxe associée à SEP(II) ne peut pas être assimilée au paradoxe sorite. La réduction de SEP au paradoxe sorite est en effet la solution qui a été proposée par certains auteurs, notamment Dietl (1973) et Smith (1984). Toutefois, ces dernières solutions, basées sur l’assimilation de SEP au paradoxe sorite, constituent des analyses monistes, qui ne conduisent pas, à la différence de la présente solution, à deux solutions indépendantes basées sur deux versions structurellement différentes de SEP. En ce qui concerne par ailleurs les analyses proposées par Dietl et Smith, il n’apparaît pas clairement si chaque étape de SEP est pleinement assimilée à l’étape correspondante du paradoxe sorite, ainsi que l’a souligné Sorensen[18]. Mais dans le contexte d’une conception de la surprise correspondant à une structure disjointe, le fait que le dernier jour correspond à une instance propre de non-surprise peut être ici assimilé à l’étape de base du paradoxe sorite.

Cependant, il apparaît qu’une telle réduction de SEP au paradoxe sorite, limitée à la notion de surprise correspondant à une structure disjointe, ne prévaut pas. En premier lieu, il n’apparaît pas clairement si l’énoncé de SEP peut être traduit en une variation du paradoxe sorite, en particulier pour ce qui concerne 7‑SEP(II). Car la variation correspondante du paradoxe sorite serait trop rapide, ainsi que l’a déjà été noté Sorensen (1988)[19]. Et on peut penser en outre, ainsi que l’a fait remarquer Scott Soames (1999), que certains prédicats vagues ne sont pas susceptibles de donner lieu à une version correspondante du paradoxe sorite. Tel apparaît bien être le cas pour la notion de surprise associée à 7-SEP(II). Car comme l’a fait remarquer Soames[20], le continuum qui est sémantiquement associé aux prédicats donnant lieu au paradoxe sorite, peut être fragmenté en unités si petites que si l’une de ces unités est intuitivement F, alors l’unité suivante est également F. Or tel n’est pas le cas pour la variation constituée par 7-SEP(II), car les unités correspondantes (1 jour) ne sont pas assez fines par rapport à la période considérée (7 jours).

Enfin surtout, on l’a vu plus haut, la solution précédente pour SEP(II) s’applique, quelle que soit la nature de la solution adoptée pour le paradoxe sorite. Car c’est la méconnaissance de la structure sémantique de la notion vague de surprise qui se trouve à l’origine du raisonnement fallacieux de l’étudiant dans le cas de SEP(II). Et ce fait est indépendant de la solution qui devrait être apportée, dans le futur, pour le paradoxe sorite, que cette approche soit d’inspiration épistémologique, supervaluationniste, basée sur la logique floue, …, ou d’une toute autre nature.

 

  1. Conclusion

Je mentionnerai finalement que la solution qui vient d’être proposée s’applique, ce me semble, aux variations de SEP mentionnées par Sorensen (1982). En effet, la structure des formes canoniques de SEP(I□), SEP(I∆) ou SEP(II) indique que quelle que soit la version prise en compte, la solution qui s’applique ne nécessite pas de faire appel à un quelconque principe de rétention temporelle. Elle est également indépendante de l’ordre d’élimination et peut enfin s’appliquer lorsque la durée de la n-période n’est pas connue lors de l’annonce faite par le professeur.

Enfin, on peut mentionner que la stratégie développée dans la présente étude se révèle structurellement analogue à celle mise en œuvre dans mon analyse du paradoxe de Hempel (1999) : en premier lieu, établir une dichotomie qui permet de diviser le problème concerné en deux classes distinctes ; en second lieu, montrer que chacune des versions qui en résultent admet une résolution spécifique[21]. De manière similaire, dans la présente analyse de SEP, une dichotomie est effectuée et les deux catégories de problèmes qui en résultent donnent ensuite lieu à une solution indépendante. Ceci suggère que le fait que deux versions structurellement indépendantes se trouvent inextricablement mêlées dans les paradoxes philosophiques pourrait être une caractéristique plus répandue qu’on pourrait le penser de prime abord et pourrait également expliquer en partie la difficulté qui leur est propre[22].


REFERENCES

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[1] Je simplifie ici considérablement.

[2] Sans prétendre à l’exhaustivité.

[3] Dans ce qui suit, n désigne le dernier jour de la période correspondant à l’annonce du professeur.

[4] L’objet de la présente section n’est pas l’étude de la notion de surprise per se. Elle a davantage pour but en effet d’éliminer certaines connotations psychologiques au niveau de la notion de surprise, afin de mettre en évidence plus nettement la structure du paradoxe.

[5] En prenant en compte le fait que seules les instances positives (c’est-à-dire une prédiction associée à un jour où l’examen survient véritablement) sont prises en compte, et que les instances négatives (c’est-à-dire une prédiction associée à un jour où l’examen ne survient pas) sont purement et simplement ignorées. Ce point particulier est présenté de manière plus détaillée à la fin de la présente section.

[6] Soit 1-SEP, 2-SEP,…, n-SEP le problème pour respectivement 1 jour, 2 jours,…, n jours.

[7] Les cas où ni la non-surprise ni la surprise ne sont possibles un même jour (c’est-à-dire tels que S[k, 0] + S[k, 1] = 0) peuvent être purement et simplement ignorés.

[8] Cf. (1953, 65) : ‘It is notable that K acquiesces in the conclusion (wrong, according to the fable of the Thursday hanging) that the decree will not be fulfilled. If this is a conclusion which he is prepared to accept (though wrongly) in the end as a certainty, it is an alternative which he should have been prepared to take into consideration from the beginning as a possibility.’

[9] Cf. (1953, 66) : ‘If K had reasoned correctly, Sunday afternoon, he would have reasoned as follows : “We must distinguish four cases : first, that I shall be hanged tomorrow noon and I know it now (but I do not) ; second, that I shall be unhanged tomorrow noon and do not know it now (but I do not) ; third, that I shall be unhanged tomorrow noon and know it now ; and fourth, that I shall be hanged tomorrow noon and do not know it now. The latter two alternatives are the open possibilities, and the last of all would fulfill the decree. Rather than charging the judge with self-contradiction, let me suspend judgment and hope for the best.”‘

[10] A ce stade, on pourrait montrer ici que le principe de la solution de Quine s’applique également à des versions de SEP(I□) basées sur les trois autres cas de surprise (b), (c) et (d) définis plus haut (cf. s. 3). Toutefois, ces trois derniers cas de surprise présentent un intérêt qui apparaît essentiellement théorique, et qui ne correspond pas véritablement à des situations concrètes. A l’inverse, la solution de Quine s’applique directement à une situation qui apparaît tout à fait plausible. Pour appréhender le cas (b) de surprise pour 1-SEP, correspondant à une prévision vraie et non justifiée, il suffirait par exemple de considérer que l’étudiant effectue le jour 1 une prédiction qui n’est pas justifiée. On aurait alors l’émergence d’une variation de la solution de Quine appliquée à 1-SEP(I□) et au cas (b) de surprise, etc.

[11] ‘The students are then shown four silver stars and one gold star. One star is put on the back of each student.’.

[12] Hall réfute par ailleurs, mais sur un fondement différent, la solution proposée par Quine.

[13] La réduction de Hall peut aisément être généralisée. Elle est alors associée à une version de n-SEP(I∆) telle que la surprise ne pourra survenir les m derniers jours de la semaine. Une telle version est associée à une matrice telle que (a) $m (1 £ m < n) tel que S[nm, 0] = S[nm, 1] = 1 ; (b) “p > nm S[p, 0] = 1 et S[p, 1] = 0 ; (c) “q < nm S[q, 0] = S[q, 1] = 1. Dans cette nouvelle situation, une réduction de Hall généralisée s’applique à la version de SEP correspondante. Dans ce cas, la réduction de Hall étendue conduit à : n-SEP(I∆) º (nm)-SEP(I□).

[14] Cf. notamment Hall (1999, 661), Williamson (2000).

[15] On pourrait montrer également que la solution qui prévaut pour SEP(II) s’applique également à des versions de SEP(II) basées sur les deux autres cas de surprise (b) et (d) définis plus haut (cf. s. 3.). En effet, ces derniers cas de surprise peuvent être également appréhendés dans le cadre de la présente solution pour SEP(II) et d’énoncés correspondants. Ces deux derniers cas de surprise présentent toutefois un intérêt limité, car ils conduisent à des variations dont la nature est essentiellement théorique.

[16] Cette définition d’un prédicat vague est empruntée à Soames. Considérant l’extension et l’anti-extension d’un prédicat vague, Soames (1999, 210) précise ainsi : “These two classes are mutually exclusive, though not jointly exhaustive”.

[17] Il s’agit d’un ou exclusif.

[18] Cf. Sorensen (1988, 292-293) : ‘Indeed, no one has simply asserted that the following is just another instance of the sorites.

  1. Base step : The audience can know that the exercise will not occur on the last day.
  2. Induction step : If the audience can know that the exercise will not occur on day n, then they can also know that the exercise will not occur on day n – 1

iii.            The audience can know that there is no day on which the exercise will occur.

Why not blame the whole puzzle on the vagueness of ‘can know’? (…) Despite its attractiveness, I have not found any clear examples of this strategy.’

[19] Cf. (1988, 324): ‘One immediate qualm about assimilating the prediction paradox to the sorites is that the prediction paradox would be a very ‘fast’ sorites. (…) Yet standard sorites arguments involve a great many borderline cases.’

[20] Cf. Soames (1999, 218): ‘A further fact about Sorites predicates is that the continuum semantically associated with such a predicate can be broken down into units fine enough so that once one has characterized one item as F (or not F), it is virtually irresistible to characterize the same item in the same way’.

[21] Un exemple caractéristique de ce type d’analyse est également fourni par la solution pour le paradoxe des deux enveloppes (two-envelope paradox) décrite par David Chalmers (2002, 157) : ‘The upshot is a disjunctive diagnosis of the two-envelope paradox. The expected value of the amount in the envelopes is either finite or infinite. If it is finite, then (1) and (2) are false (…). If it is infinite, then the step from (2) to (3) is invalid (…)’.

[22] Je suis reconnaissant envers Timothy Chow, Ned Hall, Claude Panaccio et plusieurs experts anonymes pour des commentaires très utiles concernant de précédentes versions de cet article.

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