L’ABC du plan dialectique matriciel – Chapitre premier

CHAPITRE 1. LE PLAN DIALECTIQUE CLASSIQUE

Le plan dialectique matriciel dont la technique sera enseignée tout au long de cet ouvrage peut être considéré comme une variante de plan dialectique. Cette variante, toutefois, présente plusieurs avantages par rapport au plan dialectique classique, ainsi que nous aurons l’occasion de souligner. Pour bien comprendre le plan dialectique matriciel, il est nécessaire d’avoir au préalable une bonne connaissance du plan dialectique classique. Pour cette raison, je m’attacherai tout d’abord à décrire ce dernier.

Le plan dialectique, dont l’usage est très répandu, constitue un type de plan classique fondé sur le triplet de concepts : thèse-antithèse-synthèse.

these-antithese-synthese À ce stade, il convient de s’intéresser à chacun des composants du plan thèse-antithèse-synthèse. Considérons en premier lieu la thèse. Cette dernière constitue un point de vue exprimé par un auteur. Il s’agit du point de vue sur lequel porte la discussion, et vers lequel la structure du plan se trouve orientée. Par simplification, on peut assimiler ici la thèse à une assertion donnée.

En second lieu, l’antithèse est un point de vue qui se révèle contraire, opposé à celui de la thèse. De même que la thèse, il est utile de réduire l’antithèse, dans un but de simplification, à une assertion. À ce stade, les points de vue exprimés par la thèse et l’antithèse présentent une nature antinomique.

La synthèse enfin constitue la partie du discours où les points de vue antagonistes énoncés dans la thèse et l’antithèse font l’objet d’un dépassement. La synthèse vise ainsi classiquement à surmonter, à s’élever au-delà de l’antinomie existant entre la thèse et l’antithèse et à la surpasser. Pour formuler cela autrement, on peut dire également qu’elle vise à résoudre le problème posé par la contradiction existant entre la thèse et l’antithèse.

Compte tenu du fait que la synthèse, ainsi que cela vient d’être exposé, constitue un stade ultérieur à l’exposé de la thèse et de l’antithèse, qui vise également à en surmonter l’opposition, il est utile de présenter le triplet de concepts thèse-antithèse-synthèse de la manière suivante, qui met davantage en évidence la fonction de chacun des concepts au sein-même de ce triplet, et surtout le rôle de la synthèse, qui est de surmonter l’opposition entre la thèse et l’antithèse :

these-antithese-synthese2

D’une manière générale, on peut préciser que l’intérêt du plan dialectique de type thèseantithèsesynthèse est d’appréhender le double aspect d’un problème ou d’une réalité donnée. En envisageant alternativement un point de vue puis un autre, en considérant successivement la thèse puis l’antithèse, ce type de plan permet d’éviter une vision partielle ou tronquée du problème particulier posé par la thèse. La finalité du plan dialectique classique est ainsi d’appréhender la double nature d’une même réalité et de dépasser la contradiction qui résulte d’une étude préliminaire.

LA DIALECTIQUE CHEZ HEGEL

La structure tripartite thèse-antithèse-synthèse à la base du plan dialectique classique trouve son origine dans l’approche dialectique développée par Hegel. La triple association de concepts sous la forme de thèse-antithèse-synthèse, qui est communément associée au mouvement dialectique de la pensée, a été élaborée à l’origine par Hegel et Marx. Dans ce contexte, la dialectique constitue un processus de raisonnement qui procède par l’énoncé de deux thèses contradictoires ‒ la thèse et l’antithèse ‒ et par leur réconciliation au stade de la synthèse. Pour Hegel1, toute thèse présente en soi une nature incomplète, partielle, qui donne ainsi naissance à son contraire, l’antithèse. Selon Hegel, les contraires présentent, au-delà de la contradiction qui les sous-tend, une nature indissociable. Cette dernière propriété permet ainsi de réaliser leur union finale, à un niveau de la pensée qui se situe au-delà de celui où se manifeste la contradiction. Les contraires présentent ainsi par essence une véritable unité, dont il convient de capturer le principe fécond, permettant ainsi de parvenir, à un niveau supérieur, à une connaissance ultime. Cette dernière phase constitue la synthèse, qui peut ainsi être considérée comme l’étape du raisonnement qui réconcilie véritablement, à un niveau supérieur, la contradiction qui se présente entre la thèse et l’antithèse. La synthèse permet ainsi de surmonter le conflit apparu entre la thèse et l’antithèse, en les unifiant ultérieurement, à partir de la part de vérité contenue dans chacune d’entre elles. Dans le langage courant, l’approche dialectique désigne aussi la méthodologie générale qui permet de surmonter et de résoudre les contradictions. C’est dans cette approche dialectique que le plan classique du type thèse-antithèse-synthèse trouve son origine.

1La pensée de Hegel est ici simplifiée, afin de mieux mettre en évidence la nature du plan dialectique classique. Pour Hegel en effet, le processus ne se limite pas à cela. Car la synthèse ainsi obtenue constitue à son tour une nouvelle thèse, qui elle-même donne lieu à une nouvelle antithèse puis à une nouvelle synthèse, et ainsi de suite

200px-Decoline01.svg

INTRODUCTION – CHAPITRE 1 – CHAPITRE 2 – CHAPITRE 3 – CHAPITRE 4CHAPITRE 5 – CHAPITRE 6CHAPITRE 7CHAPITRE 8CHAPITRE 9CHAPITRE 10CHAPITRE 11

L’ABC du plan dialectique matriciel

L’« ABC du plan dialectique matriciel » vient de paraître :

L’ouvrage « ABC du plan dialectique matriciel » a pour but de présenter de manière simple, progressive et illustrée une méthodologie créée par l’auteur qui permet de réaliser facilement un plan dialectique matriciel. Il s’agit d’un outil à vocation pratique qui constitue l’application directe de concepts d’essence philosophique. Lorsqu’on en a assimilé les principes, quelques secondes suffisent pour réaliser un plan dialectique matriciel, qui présente un certain nombre d’avantages par rapport au plan dialectique classique du type thèse-antithèse-synthèse. L’élaboration d’un plan dialectique matriciel se révèle utile dans le domaine scolaire, pour la rédaction d’une dissertation ou d’un devoir de philosophie ; dans le domaine parascolaire, pour la rédaction de l’épreuve de sujet d’ordre général des concours ; et plus généralement, pour la rédaction de mémoires, de thèses, de rapports, de compte-rendus, etc. Le plan dialectique matriciel s’applique à des questions ou des sujets du type :
– Discutez l’opinion suivante : « Toute théorie est grise, mais vert et florissant est l’arbre de la vie. » (Goethe)
– Commentez l’assertion suivante : « Comment souffrir que la passion soit mise au même rang que la raison ? » (Sénèque)
L’ouvrage est largement illustré. Des exercices pratiques sont également présentés, avec leurs corrigés.


La version Kindle est également disponible.


L’ouvrage est également en accès libre (les chapitres seront mis en ligne progressivement).

Les enfants d’Eubulide – Texte complet

LES ENFANTS D’EUBULIDE

DIALOGUE AUTOUR DES PARADOXES PHILOSOPHIQUES

Paul Franceschi

Copyright (c) 2010-2016

Tous droits réservés

Édition 1.3

À mon père

À u me babbu

200px-Decoline01.svg

DIALOGUE PRÉLIMINAIRE

PHARAMMÉNION. – Puisque vous voilà décidés à aborder l’étude des paradoxes, je vous propose donc de commencer sans attendre. Mais je dois vous prévenir que cette étude peut réserver quelques surprises et qu’il peut en résulter quelques conséquences a priori inattendues. Il se pourrait bien que quelques turbulences imprévues se produisent également.

ÉPHILODIE. – Il n’y a quand même rien d’inquiétant, je présume. L’étude des paradoxes n’est pas dangereuse, n’est-ce-pas ? Ou quelque chose m’aurait-il échappé ?

VALLIDOR. – Il n’y aurait tout de même pas quelque péril physique à se lancer dans l’étude des paradoxes philosophiques ?

PHARAMMÉNION. – Non, je peux vous rassurer : il n’y a rien de tel. Votre intégrité physique devrait être préservée.

ÉPHILODIE. – Je note l’usage prudent du conditionnel…

PHARAMMÉNION. – Mais tout de même, je vous confirme que cette étude peut réserver un certain nombre de surprises. Enfin, vous aurez tout le temps de constater tout cela par vous-mêmes…

VALLIDOR. – Nous voilà quand même avertis, mis en garde en quelque sorte… Je suis assez curieux de savoir où tout cela peut nous mener. Quelle est donc cette conséquence de l’étude des paradoxes que nous n’imaginons pas encore ?

PHARAMMÉNION. – Ah ! Il ne servirait à rien d’en parler maintenant. Vous découvrirez bien tout cela au fur et à mesure que nous avancerons.

ÉPHILODIE. – On m’avait caché que cet enseignement autour des paradoxes comportait des aspects mystérieux…

200px-Decoline01.svg

 

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE LA BELLE AU BOIS DORMANT

PHARAMMÉNION. – Pour débuter, je vais évoquer le cas du paradoxe de la Belle au bois dormant (en anglais, Sleeping Beauty Problem). Il s’agit d’un paradoxe probabiliste qui a suscité récemment une ébullition considérable dans les sphères philosophiques. J’en viens dès maintenant à l’énoncé du paradoxe. Voilà. Des chercheurs ont élaboré le protocole d’une expérience, selon lequel ils vont endormir la Belle. Ils lui administreront un puissant somnifère, de sorte qu’elle sera endormie pendant deux jours de la semaine prochaine : lundi et mardi. Cependant, en vertu du protocole de cette expérience, la Belle sera réveillée une ou deux fois. Et le nombre de ces réveils sera déterminé de manière aléatoire. Il dépendra du résultat du lancer d’une pièce de monnaie parfaitement équilibrée. Si celle-ci tombe sur face, la Belle sera réveillée une seule fois, le lundi. En revanche, si la pièce tombe sur pile, la Belle sera réveillée deux fois, lundi et mardi. Dans chacun de ces cas, lorsqu’elle aura été réveillée le lundi, la Belle sera à nouveau endormie, de sorte qu’elle oubliera complètement qu’elle a été réveillée. Voici donc décrit le protocole de l’expérience. Maintenant, la question qui se pose est la suivante : quand la Belle est réveillée, à combien doit-elle estimer la probabilité que la pièce soit tombée sur face ?

ÉPHILODIE. – Et voilà les paradoxes probabilistes qui s’annoncent…

PHARAMMÉNION. – En effet, il s’agit bien de cette catégorie de paradoxes. On cherche ici à évaluer une probabilité, celle qui est associée au fait que la pièce de monnaie est tombée sur face.

ÉPHILODIE. – Cette question se pose-t-elle pour tous les réveils, c’est-à-dire ceux qui interviennent le lundi ou le mardi ? Ou bien la question ne se pose-t-elle que pour les réveils du lundi ?

PHARAMMÉNION. – Le problème se pose pour tous les réveils, qu’ils interviennent un lundi ou un mardi.

Sleeping_Beauty

VALLIDOR. – Je ne vois pas du tout où est le paradoxe ici. Car la réponse me paraît fort simple. C’est d’ailleurs évident. Il faut en effet raisonner de la manière suivante. Puisque la pièce de monnaie est équilibrée, comme le précise le protocole de l’expérience, la probabilité associée avec un tirage face est un demi (1/2). Étant donné que la probabilité initiale de face ou de pile est égale à un demi, et que la Belle ne reçoit aucune information nouvelle lorsqu’elle est réveillée, il n’y a aucune raison pour que la Belle modifie la probabilité initiale. Ainsi, aucune donnée nouvelle ne lui ayant été communiquée lors de son réveil, la Belle ne possède aucune justification pour modifier la probabilité initiale d’un demi qui est associée avec un tirage face.

PHARAMMÉNION. – Oui, en effet. C’est un raisonnement qui est défendable. Si je ne possède aucun élément pour modifier des probabilités initiales, je laisse ces dernières inchangées.

VALLIDOR. – Et donc, il n’y a pas de paradoxe. Car la solution qui s’impose est celle que je viens de mentionner. Et il ne peut y en avoir d’autre. Il n’y a pas là matière à ébullition dans les sphères philosophiques. Quelques légères bulles auraient véritablement suffi…

PHARAMMÉNION. – Et pourtant, Vallidor, es-tu si sûr qu’il ne peut peut y avoir d’autre réponse ?

VALLIDOR. – Tout à fait certain. Toute autre réponse serait insensée. Je répète. La Belle n’obtient aucune information nouvelle, et par conséquent, il serait absurde de modifier sa croyance initiale.

PHARAMMÉNION. – Je crains de ne pas en être aussi sûr. Qu’en dis-tu, Éphilodie ?

ÉPHILODIE. – J’y réfléchissais… On se trouve là dans une situation probabiliste. J’aurais tendance à raisonner par rapport à la répétition. Supposons ainsi que l’expérience soit répétée de nombreuses fois. Que s’ensuit-il ? Eh bien, si l’expérience est répétée de nombreuses fois, la proportion des réveils faisant suite à un tirage pile sera deux fois plus importante, puisqu’il y a deux réveils à chaque fois. Car il s’ensuivra qu’environ un tiers des réveils seront consécutifs à un tirage face, alors que deux tiers des réveils feront suite à un tirage pile. Ainsi, on aura finalement deux tiers de réveils-pile et un tiers de réveils-face. Par conséquent, la Belle doit conclure que la probabilité que la pièce de monnaie soit tombée sur face est égale à un tiers (1/3).

PHARAMMÉNION. – Voilà donc une autre réponse au problème posé par la Belle au bois dormant.

ÉPHILODIE. – Et je ne suis donc pas de ton avis, Vallidor. Ta solution est fausse, car elle ne prend pas en compte la répétition, qui est fondamentale dans un contexte probabiliste.

VALLIDOR. – Non, c’est ma réponse qui est exacte. Ton raisonnement est simplement fallacieux.

ÉPHILODIE. – Ce n’est pas possible qu’il soit faux. Il est basé sur le calcul de la répétition des cas, et la statistique qui en résulte, c’est deux tiers de réveils-pile et un tiers de réveils-face. C’est incontournable ! Et la bonne réponse, c’est donc un tiers.

VALLIDOR. – Non, je t’assure que tu es dans le faux ! C’est impossible. Dans un contexte probabiliste, lorsque tu n’obtiens aucune information nouvelle, tu ne changes pas les probabilités initiales !

ÉPHILODIE. – Tu ne tiens pas compte de la répétition, et c’est par là que ton calcul pêche. Tu as tort !

PHARAMMÉNION. – Bien. essayez de prendre un peu de recul, et reprenons le problème depuis le début. Le problème posé par la Belle, c’est d’évaluer, lorsqu’elle est réveillée, la probabilité que la pièce soit tombée sur face. Il semble que nous soyons en présence de deux types de raisonnements concurrents. Et ces deux raisonnements conduisent à des conclusions différentes. Car la réponse à laquelle conduit un de ces raisonnements est un demi, alors que la réponse apportée par le second type de raisonnement est un tiers. Ces deux réponses sont contradictoires. C’est là tout le paradoxe. Mais quelle réponse est la bonne ?

VALLIDOR. – Je l’ai déjà dit, il n’y a pas de paradoxe ici. Il n’y a qu’un raisonnement qui est correct, c’est celui qui conduit à une probabilité de un demi. Et l’autre raisonnement est tout simplement fallacieux. La bonne réponse, c’est un demi !

ÉPHILODIE. – Non, non, non ! La bonne réponse, c’est un tiers. Si on prend en compte la répétition de l’expérience, on obtient un tiers, et aucune autre réponse n’est possible. Ta réponse ne vaut que si on ne prend pas en compte la répétition !

PHARAMMÉNION. – Je vous laisse en discuter encore. Peut-être l’un d’entre vous parviendra-t-il à convaincre l’autre ? En tout cas, nous aurons l’occasion d’en reparler.

200px-Decoline01.svg

 

 

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DU MENTEUR


MiletusTheater6August2005PHARAMMÉNION. – Le paradoxe de la Belle au bois dormant était un paradoxe moderne, très récent. Nous en discuterons à nouveau prochainement. Mais auparavant, je vais vous présenter un paradoxe qui est cette fois, extrêmement ancien. Le paradoxe du Menteur – il s’agit de lui– est en effet, avec le paradoxe sorite, le plus ancien des paradoxes connus. Nous aurons d’ailleurs l’occasion de découvrir le paradoxe sorite un peu plus tard. C’est au philosophe grec Eubulide de Milet que l’on doit le paradoxe du Menteur. Eubulide, qui vivait au IVème siècle avant J.-C., dirigeait l’école de la cité grecque de Mégare et était également un opposant d’Aristote. Eubulide est ainsi à l’origine de plusieurs raisonnements portant sur des énigmes philosophiques, qui ont souvent été qualifiés de « sophismes ». Ce terme, nous aurons l’occasion de le voir, n’est pas très heureux. Diogène Laërce, dans son ouvrage « Vies, doctrines et sentences des philosophes illustres », mentionne ainsi sept de ces énigmes, attribuées à Eubulide : le Menteur, le Caché, l’Électre, le Voilé, le Tas, le Cornu et le Chauve. Le terme de « sophismes », souvent utilisé dans la tradition philosophique pour décrire les énigmes soulevées par Eubulide, n’est pas judicieux, car il comporte une connotation péjorative. Or il s’avère que plusieurs des sept problèmes décrits par Eubulide se révèlent être des problèmes d’une grande profondeur. En particulier, le Menteur, et le Tas et le Chauve, s’avèrent être des paradoxes extrêmement profonds, y compris à l’époque moderne. Pour ces deux derniers problèmes – le Tas et le Chauve – l’analyse moderne a montré qu’il s’agit en réalité de deux instances distinctes d’un seul et même problème. Il s’agit en effet de deux instances du même paradoxe : le paradoxe sorite. En second lieu, la réflexion que suscitent les paradoxes mentionnés par Eubulide se révèle d’un intérêt beaucoup plus important qu’il n’y paraît au premier abord. Les réflexions, les discussions, les raisonnements qu’engendrent les problèmes attribués à Eubulide, présentent un grand intérêt et nous aurons l’occasion de voir, un peu plus tard, à quel niveau se situe cet intérêt. Ainsi, parmi les problèmes soulevés par Eubulide se trouvaient de simples énigmes, destinées à faire réfléchir, mais aussi des problèmes philosophiques profonds, qui ont traversé les siècles, tels que le Menteur et le paradoxe sorite. Il peut paraître étrange qu’un paradoxe aussi ancien que le Menteur n’ait pas trouvé de solution, vingt-cinq siècles après qu’il ait été formulé, mais c’est pourtant la réalité. Aujourd’hui, le paradoxe du Menteur demeure toujours sans solution. Vingt-cinq siècles d’efforts des philosophes n’ont pas permis de lui trouver une solution définitive.

VALLIDOR. – Ainsi, il est plus facile d’aller sur la Lune que de résoudre le Menteur…

ÉPHILODIE. – Peut-être l’humanité n’a-t-elle déployé autant d’efforts pour résoudre le Menteur que pour se poser sur la Lune ?

VALLIDOR. – En tout cas, je doute qu’un budget aussi important que celui qui a été utilisé pour la conquête de notre satellite, ait été consacré au Menteur.

PHARAMMÉNION. – La question se pose de savoir si le montant du financement consacré à résoudre le Menteur serait ou non décisif. Personnellement j’en doute. Nous sommes peut-être encore ici dans l’un des rares domaines qui échappent à tout financement, et où la puissance de l’argent peut être mise en échec. De nombreuses tentatives ont été effectuées pour trouver une solution au Menteur. Mais aucune de celles qui ont été proposées n’est parvenue jusqu’à présent à résoudre définitivement le paradoxe. Le Menteur demeure donc un des grands paradoxes qui défient encore l’humanité. Il s’agit d’un des paradoxes philosophiques majeurs. Une des particularités du paradoxe du Menteur est qu’on peut l’exprimer très simplement. J’en donnerai d’ailleurs plusieurs formulations. Une formulation du paradoxe est ainsi la suivante : « Je mens ». Voyez-vous en quoi cette simple phrase pose problème ?

ÉPHILODIE. – Je pressens vaguement le problème pour l’instant. Il s’agit d’une intuition. Mais une analyse plus précise devrait nous éclairer sur le problème qui en résulte. Supposons un instant que la phrase « Je mens » soit vraie. Dans ce cas, il est vrai que je mens. Donc, je ne dis pas la vérité et par conséquent, cette phrase ne peut pas être vraie. Ainsi, la phrase « Je mens » n’est pas vraie.

PHARAMMÉNION. – Peut-elle alors être fausse ?

ÉPHILODIE. – Eh bien supposons maintenant qu’elle soit fausse. Dans ce cas, la phrase selon laquelle j’affirme que je mens est fausse. Ainsi, il est faux que je mens et par conséquent, cette phrase est vraie ! Là aussi, je suis piégé, car une telle phrase ne peut pas non plus être fausse.

PHARAMMÉNION. – C’est cela exactement. Si la phrase « Je mens » est vraie, alors elle est fausse. Et si elle est fausse, alors elle est vraie. C’est là tout l’effet du paradoxe. Tout à l’heure, j’ai dit que je donnerai plusieurs formulations du paradoxe. Eh bien, nous allons maintenant en voir une autre.

ÉPHILODIE. – Quel est l’intérêt de ces formulations multiples ?

PHARAMMÉNION. – L’intérêt est de mieux appréhender la structure profonde du paradoxe. Pour essayer de résoudre le paradoxe, mieux vaut s’attacher à en décrire la structure profonde, le noyau véritable. Le fait de tenter de parvenir, par raffinements successifs, à une version plus épurée du paradoxe, procède de cette intention. Voyons donc cette autre formulation du paradoxe. On formule également le paradoxe du Menteur de manière plus précise en considérant la proposition suivante : « Cette proposition est fausse ». Le paradoxe provient du fait que si cette dernière proposition est vraie, puisqu’elle dit d’elle-même qu’elle est fausse, alors elle est fausse. Ainsi, si elle est vraie, elle est fausse. Et de même, si cette proposition est fausse, alors elle est vraie, puisqu’elle dit d’elle-même qu’elle est fausse. Par conséquent, si cette proposition est fausse, alors elle est vraie.

ÉPHILODIE. – Je peux résumer la situation. En effet, c’est assez critique : « Cette proposition est fausse » est fausse si elle est vraie, et vraie si elle est fausse. Le paradoxe est bel et bien là !

PHARAMMÉNION. – Tu remarqueras, Éphilodie, qu’au-delà de la contradiction que nous venons de souligner, un autre effet du paradoxe est que nous ne parvenons pas à attribuer une valeur de vérité à la proposition « Cette proposition est fausse ».

ÉPHILODIE. – Oui, les efforts que nous avons déployés pour attribuer une valeur de vérité à cette proposition conduisent à un échec. Car ni la valeur de vérité « vrai », ni la valeur de vérité « faux » ne conviennent.

PHARAMMÉNION. – C’est là toute la différence avec des propositions comme « deux plus cinq égale sept », ou bien encore « Leibniz est un philosophe », auxquelles nous pouvons sans difficulté attribuer une valeur de vérité. Ainsi, la proposition qui sert de support au Menteur se révèle-t-elle particulière à cet égard.

VALLIDOR. – Je ne vois pas où est le paradoxe ici. C’est tout simplement le fait de vouloir qu’une proposition soit vraie ou fausse qui est en cause ici. Si nous ne nous limitons pas aux valeurs de vérité « vrai » et « faux », le paradoxe disparait. Ce n’était pas la peine d’attendre deux mille quatre cent ans. C’est aussi simple que ça : il ne faut pas restreindre les valeurs de vérité à « vrai » et « faux », et on a la solution !

PHARAMMÉNION. – Je vois. Le fait de considérer que toute proposition est soit vraie, soit fausse, constitue ce qu’on a appelé le « principe de bivalence ». En effet, le Menteur se heurte notamment à ce principe de bivalence. Le problème que soulève le paradoxe du Menteur est ainsi le suivant : quelle est donc la valeur de vérité de la proposition « Cette proposition est fausse », étant donné qu’on ne peut lui attribuer, sans contradiction, la valeur de vérité vrai ou faux ?

VALLIDOR. – Par conséquent, il suffit d’abandonner le principe de bivalence, et le Menteur disparaît. C’est tout.

PHARAMMÉNION. – Oui, mais quelle est alors la valeur de vérité de la proposition « Je suis fausse », dans ton analyse ?

VALLIDOR. – L’attribution d’une valeur de vérité à la proposition « Je suis fausse » échoue simplement parce qu’on se restreint à deux valeurs de vérité : « vrai » et « faux ». Mais si on ajoute la possibilité d’attribuer une troisième valeur de vérité – appelons-la « indéterminé » – alors on ne rencontre plus ce problème. Ainsi, la proposition « Je suis fausse » n’est ni vraie ni fausse, mais bien indéterminée. Il n’y a pas l’ombre d’un paradoxe ici.

ÉPHILODIE. – Là, je ne suis pas d’accord. Parce que tu rejettes le principe de bivalence, et tu le remplaces par un principe de tri-valence, qui reconnaît en fait trois valeurs de vérité : vrai, faux et indéterminé. Tu te fondes donc sur une logique tri-valuée. Mais quelle est donc la valeur de vérité que tu attribues à la proposition « Je suis fausse » ?

VALLIDOR. – Eh bien, je te l’ai déjà dit, cette proposition n’est ni vraie ni fausse. Elle est tout simplement « indéterminée ».

ÉPHILODIE. – Je suis désolée, mais ta solution ne marche pas. Car quelle valeur de vérité attribues-tu à cette autre proposition suivante : « Je suis fausse ou indéterminée » ?

VALLIDOR. – Laisse-moi réfléchir un instant… D’abord, ce n’est pas le Menteur. Si on change la proposition, évidemment qu’une solution qui marche avec une proposition ne fonctionne plus avec une autre. Il ne faut pas changer la proposition à chaque fois.

ÉPHILODIE. – Mais c’est toujours la même. « Je suis fausse » ou bien « Je suis fausse ou indéterminée », c’est la même structure de proposition.

VALLIDOR. – Non. Pas du tout. Tu ajoutes « ou indéterminée » au Menteur original.

ÉPHILODIE. – Mais alors, quelle valeur de vérité donnes-tu à «  Je suis fausse ou indéterminée »?

VALLIDOR. – Cette proposition ne peut être fausse, car étant donné qu’elle dit d’elle-même qu’elle est fausse ou indéterminée, elle serait alors vraie.

ÉPHILODIE. – Elle n’est pas fausse, alors quelle valeur de vérité lui attribues-tu ?

VALLIDOR. – Elle ne peut non plus être vraie, car disant d’elle-même qu’elle est fausse ou indéterminée, elle serait alors soit fausse, soit indéterminée.

ÉPHILODIE. – Qu’est-elle donc alors ?

VALLIDOR. – Elle n’est pas non plus « indéterminée », car si elle était indéterminée, elle serait donc vraie, puisqu’elle dit d’elle-même qu’elle est soit fausse soit indéterminée.

ÉPHILODIE. – Et oui. Si la proposition « Je suis fausse ou indéterminée » est vraie, alors elle est fausse ou indéterminée. Si elle est fausse, alors elle est vraie. Et si elle est indéterminée, alors elle est vraie. Le piège vient de se refermer… Tu vois bien que tu n’as pas de réponse, que tu ne peux lui attribuer aucune valeur de vérité.

VALLIDOR. – Absolument pas. Car ma solution dit qu’il ne faut pas restreindre les valeurs de vérité à « vrai » et « faux ».

PHARAMMÉNION. – Lorsque nous considérons une proposition comme « Je suis fausse ou indéterminée », nous nous plaçons dans une logique tri-valuée, qui comprend ainsi trois valeurs de vérité : « vrai », « faux » et « indéterminé ».

VALLIDOR. – Eh bien, ma réponse, c’est qu’on ne doit pas restreindre les valeurs de vérité. De même qu’on ne doit pas les limiter à « vrai » et « faux », on ne doit pas non plus les restreindre à « vrai », « faux » et « indéterminé ». C’est la restriction des valeurs de vérité qui conduit au paradoxe.

ÉPHILODIE. – Ah ! Tu sembles admettre maintenant qu’il y a un paradoxe…

VALLIDOR. – Non, non. Mon analyse résout très bien le problème. Si on limite les valeurs de vérité à « vrai », « faux » et « indéterminé », on obtient une contradiction, car cette limitation ne se justifie pas.

ÉPHILODIE. – Ah ! Ta solution aussi évolue…

VALLIDOR. – C’est normal ! Tu as changé l’énoncé du paradoxe !

ÉPHILODIE. – Mais ta solution ne marche pas ! Car quelle est donc la valeur de vérité de « Je suis fausse ou indéterminée » ?

VALLIDOR. – Eh bien s’il faut absolument une valeur de vérité, disons que ce sera « super-indéterminé ».

PHARAMMÉNION. – Là, on passe d’un coup dans la logique quadri-valuée.

ÉPHILODIE. – Ainsi, « Je suis fausse ou indéterminée » est donc « super-indéterminé ». Là, ça ne peut pas aller comme réponse, car quelle valeur de vérité attribues-tu alors à : « Je suis fausse ou indéterminée, ou super-indéterminée » ?

VALLIDOR. – Ce n’est pas normal, de modifier la proposition à chaque fois. J’ai une solution qui marche, et tu changes la proposition pour que ma solution ne fonctionne plus.

ÉPHILODIE. – Mais ma proposition présente la même structure que le Menteur original.

VALLIDOR. – Pas du tout. La première fois, tu ajoutes « ou indéterminée », et la seconde fois, tu rajoutes « ou super-indéterminée » !

ÉPHILODIE. – Mais c’est la même idée que le Menteur original !

VALLIDOR. – Non, tu l’as modifié !

ÉPHILODIE. – Mais non. La structure est toujours la même. Le Menteur, c’est la proposition « Je suis non-vraie ».

VALLIDOR. – Ah ! Ça change encore !

ÉPHILODIE. – Non ! C’est toujours la même chose ! « Je suis non-vraie », en logique bi-valuée, c’est « Je suis fausse », c’est-à-dire le menteur classique. En logique tri-valuée, « Je suis non-vraie », c’est « Je suis fausse ou indéterminée ». Et en logique quadri-valuée, « Je suis non-vraie », c’est « Je suis fausse ou indéterminée ou super-indéterminée ». Tu vois bien que c’est toujours la même proposition !

VALLIDOR. – Alors le Menteur, c’est finalement, « Je suis non-vraie ». Ce n’est plus « Je suis fausse » ? Il faudrait savoir !

PHARAMMÉNION. – « Je suis non-vraie », c’est effectivement une formulation moderne du Menteur. C’est ce que l’on appelle le « Menteur renforcé ». Et il s’agit bien d’une variation du Menteur qui se révèle très résistante à l’analyse… Il s’agit bien toujours du même paradoxe, qui se refuse toujours obstinément à se voir attribuer une solution.

VALLIDOR. – De toute façon, cette modification du paradoxe…

ÉPHILODIE. – Tu emploies régulièrement le terme « paradoxe »… Je croyais que la solution en était facile ?

VALLIDOR. – « Paradoxe »… si on veut. Je disais que cette modification du paradoxe ne change rien. C’est toujours aussi facile à résoudre, avec ma solution. Car d’une manière générale, les principes de bi-valence, de tri-valence, de quadri-valence, etc. constituent une limitation, une restriction des valeurs de vérité. Ma solution repose sur le refus d’une limitation des valeurs de vérité. Et cela fait disparaître le paradoxe.

PHARAMMÉNION. – Eh bien, la tentative est méritoire, mais elle échoue également. Car elle bute également sur le Menteur renforcé, c’est-à-dire la proposition : « Je suis non-vraie ». Car supposons que cette dernière proposition soit vraie. Dans ce cas, elle dit d’elle-même qu’elle est non-vraie, et par conséquent, elle est non-vraie. Ainsi, si elle est vraie, elle est non-vraie.

eub-liar

ÉPHILODIE. – Cela commence de la même manière que pour le Menteur classique. C’est-à-dire plutôt mal…

PHARAMMÉNION. – Voyons si la fin est meilleure. Supposons donc que le Menteur renforcé soit non-vrai. Dans ce cas, une telle proposition dit d’elle-même qu’elle est non-vraie, et par conséquent, elle est vraie.

ÉPHILODIE. – Cela finit encore mal, il semblerait.

PHARAMMÉNION. – Ainsi, si le Menteur renforcé est non-vrai, il est donc vrai. Pour conclure, si le Menteur renforcé est vrai, alors il est non-vrai. Et s’il est non-vrai, alors il est vrai.

ÉPHILODIE. – Et le paradoxe est plus présent que jamais ! On ne s’en débarrasse pas si facilement…

PHARAMMÉNION. – Il y a comme une régression infinie. Au fur et à mesure que l’on ajoute des valeurs de vérité, le Menteur se rappelle à nous pour nous indiquer que cela ne suffit pas et que nous en avons oublié une.

ÉPHILODIE. – Cela fait plusieurs essais que nous faisons pour résoudre le Menteur. Mais ces efforts ont été plutôt vains. Est-ce qu’on ne dépense pas ici notre énergie en pure perte ? D’ailleurs je me suis laissée entendre qu’un certain Philétas de Cos avait perdu l’appétit à cause du tracas que lui causait le Menteur, et avait fini par en mourir. On a oublié de parler de ça…

PHARAMMÉNION. – C’est tout de même un cas isolé. Les décès consécutifs à un usage immodéré des paradoxes sont plutôt rares, non ?

ÉPHILODIE. – Oui, n’est-ce pas là les risques liés à l’étude des paradoxes que nous avions évoqués tout au début.

PHARAMMÉNION. – Non. Car ce n’est pas à cela que je pensais lorsque j’évoquais cela. J’ai juste parlé de possibles conséquences imprévues… Mais nous aurons bientôt l’occasion de voir cela…

200px-Decoline01.svg

 

 

DIALOGUE SUR LE PARADOXE SORITE

PHARAMMÉNION. – Puisque nous avons commencé notre étude des paradoxes avec le Menteur, nous nous devons de poursuivre avec un autre paradoxe, qui est également l’un des plus anciens et des plus importants, et que l’on doit également à Eubulide de Milet. Il s’agit du paradoxe sorite.

ÉPHILODIE. – Eubulide était donc un grand créateur de paradoxes.

PHARAMMÉNION. – Oui, il faut lui rendre cette justice. L’imagination d’Eubulide devait être fertile en paradoxes, puisqu’on lui attribue deux des paradoxes qui sont encore aujourd’hui, considérés comme les plus importants. Et Eubulide avait véritablement l’art de trouver des paradoxes extrêmement difficiles, puisque le Menteur et le paradoxe sorite résistent encore à se voir attribuer une solution consensuelle. Diogène Laërce nous rapporte que le paradoxe sorite figurait au nombre des énigmes proposées par Eubulide. Et de fait, Eubulide mentionne deux problèmes, que l’analyse moderne identifie comme deux instances du paradoxe sorite : il s’agit du Tas et du Chauve. De multiples solutions ont été proposées pour tenter de résoudre le paradoxe sorite. Pourtant, aucune d’elles ne s’est avérée satisfaisante. Ainsi, le paradoxe sorite conserve encore tout son mystère. L’énigme posée par Eubulide a traversé les siècles et n’a pas encore dévoilé les secrets qu’elle renferme vraisemblablement.

ÉPHILODIE. – Et on compte sur nous pour la résoudre…

PHARAMMÉNION. – On compte au moins que vous réfléchissiez sur le paradoxe et que vous imaginiez peut-être votre propre solution.

ÉPHILODIE. – Le paradoxe sorite a ainsi une propriété très remarquable de longévité.

PHARAMMÉNION. – Il a d’autres propriétés étonnantes. Par exemple, comme tous les grands paradoxes, le paradoxe sorite peut être décrit fort simplement. Le degré de complexité des grands paradoxes est souvent inversement proportionnel au degré de simplicité de leur description.

VALLIDOR. – Le fait d’être décrit très simplement est ainsi la marque d’un grand paradoxe ?

PHARAMMÉNION. – C’est très souvent le cas. La plupart du temps, la simplicité et la concision de leur description constitue la signature des grands paradoxes.

ÉPHILODIE. – À mon avis, c’est aussi la simplicité de leur formulation qui a permis aux paradoxes élaborés par Eubulide de traverser les siècles et de parvenir jusqu’à nous. Car Eubulide n’a pas laissé d’écrits et son oeuvre a d’abord été transmise par la tradition philosophique orale, avant d’être couchée par écrit. Sans cette simplicité de formulation du Menteur et du paradoxe sorite, nous n’en aurions probablement pas eu connaissance.

VALLIDOR. – D’un autre côté, il me semble que nous ne pouvons avoir connaissance que des travaux des philosophes de l’Antiquité qui étaient simples, concis et donc aisés à transmettre de maître à disciple. La transmission, aux débuts de la philosophie, s’effectuait essentiellement de manière orale. Et seules les idées simples avaient une chance d’être ainsi communiquées. Les idées complexes, en revanche, avaient beaucoup moins de chances de parvenir jusqu’à nous.

ÉPHILODIE. – Ne s’agit-il pas d’un effet de filtre ? Un pêcheur a lancé le filet dans le lac. Les mailles du filet sont larges de trois centimètres. Le pêcheur prend beaucoup de poissons dont la largeur est de cinq centimètres, plusieurs poissons larges de huit centimètres, et deux poissons dont la largeur est de dix centimètres. Le pêcheur peut-il en conclure que le lac ne contient pas de poissons dont la largeur est de deux centimètres ?

VALLIDOR. – Non, assurément, car ils passent à travers les mailles du filet.

ÉPHILODIE. – Ainsi, il y a là un effet de filtre. Le pêcheur ne prend que des poissons dont la grosseur est supérieure à trois centimètres, et il ne prend aucun poisson dont les dimensions sont inférieures. De même, on peut penser que nous ne pouvions hériter de l’Antiquité que des paradoxes dont la formulation était simple. Car ceux dont la formulation était trop compliquée n’ont pas dû traverser les âges et n’ont pas pu nous être transmis.

PHARAMMÉNION. – Mais venons-en à l’énoncé proprement dit du paradoxe sorite. Le voici. Il est tout d’abord admis communément qu’un ensemble qui comporte cent mille grains de sable est un tas. Une telle proposition recueille l’assentiment de tous, n’est-ce pas ?

ÉPHILODIE. – Oui. Je ne vois pas d’objection à formuler.

VALLIDOR. – Moi non plus.

PHARAMMÉNION. – Considérons maintenant cette seconde proposition : si un ensemble qui comporte un nombre donné de grains de sable est un tas, alors un ensemble qui comporte un grain de sable de moins est également un tas. Une telle proposition, de même que la première, apparaît tout à fait raisonnable et on serait enclin à l’accepter sans hésiter. Est-ce que je me trompe ?

VALLIDOR. – Non. On ne peut qu’être d’accord.

ÉPHILODIE. – Là aussi, je n’ai pas d’objection.

PHARAMMÉNION. – Maintenant, compte tenu de ces deux prémisses, il s’ensuit la conclusion selon laquelle un ensemble comportant un seul grain de sable est également un tas. Là, cela change tout, car une telle conclusion est d’une toute autre nature. C’est également votre avis ?

VALLIDOR. – En effet, c’est inacceptable.

PHARAMMÉNION. – Voyez-vous comment nous parvenons à une telle conclusion, à partir des deux propositions précédentes ?

ÉPHILODIE. – Oui, cela découle logiquement des deux propositions précédentes. Car si un ensemble qui comporte cent mille (100 000) grains de sable est un tas, il s’ensuit qu’un ensemble qui comporte un grain de sable de moins, c’est-à-dire quatre-vingt dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt dix-neuf (99 999) grains de sable est également un tas. Et il en va de même pour un ensemble qui comporte quatre-vingt dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt dix-huit (99 998) grains de sable, et ainsi de suite…

eub-sorite

VALLIDOR. – Oui. Et c’est pareil pour un ensemble qui comporte quatre-vingt dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt dix-sept (99 997) grains de sable, puis quatre-vingt dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt seize (99 996), puis quatre-vingt dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt quinze (99 995), etc. Il s’ensuit la même conclusion pour un ensemble qui comporte trois grains de sable, puis deux, puis finalement un. Ainsi, nous parvenons finalement à la conclusion qu’un ensemble qui comporte un seul grain de sable est un tas.

ÉPHILODIE. – Une telle conclusion, en effet, ne peut qu’être rejetée.

PHARAMMÉNION. – Vous le voyez, le paradoxe provient ici du fait que le raisonnement correspondant apparaît tout à fait valide, alors que la conclusion-même qui en découle est inacceptable. Aussi, quelque chose ne va pas dans ce raisonnement. Quelque part, au sein de ce raisonnement, se niche une erreur. Mais le fait d’identifier précisément cette erreur est quelque chose auquel nous autres humains, ne sommes pas encore parvenus…

ÉPHILODIE. – Les paradoxes sont là en quelque sorte pour nous rappeler à la modestie.

PHARAMMÉNION. – C’est là une de leurs premières leçons. Car les paradoxes ont beaucoup de choses à nous apprendre. En effet, le raisonnement humain est plus fragile qu’on pourrait le penser de prime abord. Deux mille quatre cents ans après sa création, le paradoxe sorite est toujours là et continue de nous défier… malgré sa simplicité.

ÉPHILODIE. – Alors, relevons le défi…

PHARAMMÉNION. – Je tiens à souligner que l’on peut construire aisément d’autres variantes du paradoxe sorite. L’instance originale du paradoxe que nous venons d’étudier est construite avec le prédicat « est un tas ». Mais il existe une variante qui utilise le prédicat « grand ». Avez-vous une idée de la version correspondante du paradoxe ?

VALLIDOR. – Oui. Si l’on conserve la structure de la version qui concerne le « tas », on doit obtenir également une version qui s’applique à « grand ». La prémisse de base est alors la suivante : un homme qui mesure 200 centimètres de haut est grand. De même, la seconde prémisse est : si un homme qui mesure un certain nombre n de centimètres est grand, alors un homme qui mesure un centimètre de moins est également grand.

PHARAMMÉNION. – C’est là la prémisse d’induction.

VALLIDOR. – Et il s’ensuit, de la même manière que dans le paradoxe sorite original, la séquence d’inférences : si un homme qui mesure 200 centimètres est grand, alors un homme qui mesure 199 centimètres est également grand ; si un homme qui mesure 199 centimètres est grand, alors un homme qui mesure 198 centimètres est également grand ; et ainsi de suite…, jusqu’à : si un homme qui mesure 2 centimètres est grand, alors un homme qui mesure 1 centimètre est également grand. Et nous avons alors à nouveau l’effet paradoxal.

PHARAMMÉNION. – À propos, avez-vous une idée des autres prédicats avec lesquels on pourrait également construire une instance du paradoxe sorite ?

VALLIDOR. – Eh bien, je pense à des prédicats tels que « vieux », « lourd », « vert », ou encore « riche ». Toute notion vague semble convenir.

PHARAMMÉNION. – Remarquez encore une intéressante propriété du paradoxe. Car il s’avère que celui-ci est réversible. En effet, les versions que nous avons étudiées jusqu’à présent, qui concernent les prédicats « est un tas » et « grand » procèdent par décrémentation. Mais le paradoxe peut également opérer par incrémentation. Avez-vous une idée de la version correspondante ? Par exemple, avec le prédicat « chauve » ?

VALLIDOR. – Oui. L’instance correspondante du paradoxe serait alors la suivante. La prémisse de base serait : un homme qui possède aucun, c’est-à-dire zéro cheveu, est chauve. Et la prémisse d’induction serait : si un homme qui possède un nombre donné n de cheveux est chauve, alors un homme qui possède un nombre donné n + 1 de cheveux est également chauve. De là, il s’ensuit la conclusion paradoxale qu’un homme qui possède dix mille cheveux est également chauve. Et ici, nous avons bel et bien procédé par incrémentation. D’ailleurs, cette variation du paradoxe sorite était une des énigmes que soumettait déjà Eubulide à la sagacité de ses élèves.

ÉPHILODIE. – Ainsi, il y a bien une forme décrémentale et une forme incrémentale du paradoxe sorite.

ÉPHILODIE. – Il me vient tout de même une solution à l’esprit. Et elle me paraît même assez évidente… Cela résout d’ailleurs facilement le paradoxe.

PHARAMMÉNION. – Nous t’écoutons, Éphilodie.

ÉPHILODIE. – Eh bien, c’est simplement la prémisse d’induction qui est fausse : « si un ensemble qui comporte un nombre donné de grains de sable est un tas, alors un ensemble qui comporte un grain de sable de moins est également un tas ». Pour moi, une telle prémisse doit être rejetée. Car à mon sens, il existe quelque part un nombre de grains qui différencie un tas d’un non-tas. Et pour cette valeur en particulier, la prémisse d’induction est fausse. Supposons que cette valeur qui sépare le tas du non-tas soit égale à 100. Dans ce cas, la prémisse de base n’est pas vraie, car il est faux que « si un ensemble qui comporte cent (100) grains de sable est un tas, alors un ensemble qui comporte quatre-vingt dix-neuf (99) grains de sable est également un tas ». Ainsi, c’est tout simplement la prémisse d’induction qui est fausse. Les inférences qui en résultent ne sont pas fiables. Et la conclusion selon laquelle « un ensemble comprenant un seul grain de sable est un tas » est l’une de ces inférences. Par conséquent, elle doit être rejetée. Cela résout aisément le paradoxe. Ou plutôt le « pseudo-paradoxe ».

VALLIDOR. – Pourquoi y aurait-il une coupure précise entre un tas et un non-tas ? C’est une affirmation gratuite. Il ne s’agit pas là d’un fait avéré. Au contraire, s’agissant d’une notion vague, « tas » ne me paraît pas présenter cette propriété. Et il en va de même pour « chauve », « grand », etc. Je ne suis pas d’accord du tout avec cette théorie de la coupure précise.

PHARAMMÉNION. – La solution que tu proposes, Éphilodie, a été notamment défendue par les tenants de l’approche épistémologique. Ils ont ainsi fait valoir qu’il existe véritablement une frontière précise au niveau du nombre de grains qui permet de différencier un tas d’un non-tas. Cependant, ajoutent-ils, il ne nous est pas possible, à nous autres humains, de connaître où se situe précisément une telle frontière. Ceci résulte d’une déficience, d’une sorte de zone aveugle au niveau de nos connaissances.

VALLIDOR. – Décidément, nous sommes vraiment peu de choses…

PHARAMMÉNION. – L’approche épistémologique conduit à rejeter, comme tu l’as souligné, Éphilodie, l’étape d’induction comme fausse.

ÉPHILODIE. – Une telle coupure existe, mais nous ne savons pas exactement où, c’est cela que je veux dire. Et cela rend fausse la prémisse d’induction, et par voie de conséquence, la conclusion paradoxale. Le paradoxe se trouve dissous !

VALLIDOR. – Non, il n’est pas dissous ! Dans une notion vague telle que « tas », ce que notre intuition nous suggère, c’est davantage qu’il existe une zone de pénombre entre les instances propres de tas et de non-tas, mais pas du tout l’idée d’une coupure précise. D’ailleurs, où est la preuve de cette coupure précise ?

ÉPHILODIE. – On ne peut pas avoir de preuve, puisqu’on ne sait pas exactement où elle se trouve. Mais cependant, nous savons qu’elle existe quelque part. Il suffit de savoir qu’elle est quelque part. Et cela résout tout.

VALLIDOR. – Mais où est la preuve que cette soi-disant coupure précise se trouve quelque part. Notre intuition, c’est plutôt qu’il n’y a précisément pas de coupure précise, s’agissant d’une notion vague ! À vrai dire, j’aurais plutôt une autre solution pour résoudre le paradoxe. Et elle ne présente pas les inconvénients de la tienne, Éphilodie. Ma solution considère également l’étape d’induction comme fausse. Mais la motivation en est très différente. Je vais prendre un exemple. Considérons donc un « tas », qui est constitué de cubes empilés les uns sur les autres. Soit donc une instance d’un tel tas, qui comporte quarante cubes empilés. Selon le raisonnement qui conduit au paradoxe sorite, on se trouve initialement en présence d’une tas de cubes, et en enlevant les cubes un à un à partir du haut, on se trouve toujours en présence d’un tas, même lorsqu’on a enlevé tous les cubes. Pourtant, la situation est plus compliquée que cela. En effet, certains cubes, tels que les premiers à partir du haut, peuvent être enlevés un par un très facilement, sans risque de faire chuter les autres. En revanche, il s’avère qu’à un certain stade, on ne peut enlever certains cubes d’importance stratégique sans que tous les autres ne tombent d’un seul coup en détruisant en même temps l’ensemble du tas. C’est cette propriété particulière qui rend finalement fausse la prémisse d’induction. Car à ce moment, on ne peut passer d’un cube donné au suivant sans détruire le tas. Ceci montre que l’étape d’induction est parfois vraie, mais pas toujours.

ÉPHILODIE. – Nous sommes d’accord sur le fait que la prémisse d’induction est fausse, je vois. Mais pas pour les mêmes raisons. Et ta solution ne me convainc pas…

VALLIDOR. – J’ajoute, pour terminer, que cela montre qu’il existe d’autres facteurs à prendre en considération tels que la position de chacun des cubes, leur alignement, etc. Ainsi, le fait de prendre seulement en compte le nombre de grains est erroné dans l’énoncé du paradoxe. On doit en réalité prendre en compte d’autres facteurs que le seul critère numérique. C’est le fait de ne considérer que le facteur numérique qui conduit au paradoxe. Et voilà comment on résout le paradoxe sorite !

ÉPHILODIE. – Je ne suis pas d’accord ! Même si l’on s’en tient au seul facteur numérique, on a toujours une version du paradoxe.

VALLIDOR. – Mais ce n’est pas possible d’avoir seulement un critère numérique. Dans « tas », « chauve », « grand », etc., il y a toujours d’autres facteurs que le seul facteur numérique. Il n’y a pas de concept vague qui ne comporte que le seul critère numérique. Et ma solution s’applique donc à tous les concepts vagues.

ÉPHILODIE. – Non ! Et je vais te le démontrer. Considère le prédicat « grand », mais qui s’applique cette fois à un nombre. On a alors la prémisse de base, selon laquelle le nombre cent millions (100 000 000) est grand. On a également la prémisse d’induction, selon laquelle : si un nombre donné n est grand, alors le nombre qui le précède n – 1 est également grand. Et de là, il s’ensuit après de nombreuses inférences, que le nombre 1 est également grand. Et revoilà le paradoxe sorite qui resurgit dans ta solution ! Et là, je n’ai que le seul critère numérique !

PHARAMMÉNION. – Effectivement, cette variation du paradoxe est connue sous le nom de « paradoxe de Wang ».

ÉPHILODIE. – Et voilà le paradoxe qui renaît ! Le pouvoir de résurrection des paradoxes est décidément très grand ! Eh oui, Le paradoxe, c’est un peu le phénix…

PHARAMMÉNION. – Ah ! Je vois que cette propriété remarquable des paradoxes ne vous a pas échappé. J’en suis sincèrement désolé ! J’attire aussi votre attention sur le pouvoir qu’ont les paradoxes, et notamment ceux qui nous proviennent d’Eubulide, d’engendrer des discussions enrichissantes, et de susciter des solutions, qui conduisent elles-mêmes à des objections, puis des contre-objections, etc. Nous avons déjà vu combien il était injuste d’assimiler Eubulide à un « sophiste », en lui accolant ainsi une étiquette défavorable. En premier lieu, Eubulide est considéré comme le père des plus grands paradoxes connus : le paradoxe du Menteur et le paradoxe sorite. Mais au-delà, son apport à la philosophie est aussi d’avoir contribué à initier cette façon de discuter de problèmes philosophiques, de réfléchir sur eux et de s’essayer à leur trouver des solutions. Car les paradoxes incitent à la réflexion, à élaborer des solutions, à trouver des objections, des contre-objections, et ainsi de suite. C’est aussi cela, l’apport d’Eubulide, au-delà de l’introduction proprement dite des paradoxes. En ce sens, Eubulide peut être considéré comme un véritable pionnier et nous a enseigné une voie d’une importance remarquable.

200px-Decoline01.svg

 

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE GOODMAN

PHARAMMÉNION. – Nous nous sommes consacrés, lors des séances précédentes, à l’examen des deux paradoxes très importants et très anciens qui demeurent encore non résolus. Cela a été l’occasion aussi de rendre hommage à Eubulide. Je vais vous parler aujourd’hui d’un paradoxe qui date de l’époque moderne. J’espère cependant que cela ne sera pas entre vous un nouveau cas de dispute, et que vous parviendrez à concevoir que dans le domaine spécifique des paradoxes, des points de vue différents et aussi pertinents l’un que l’autre peuvent parfois émerger. Chacun de ces points de vue est alors digne d’intérêt et mérite qu’on l’étudie.

ÉPHILODIE. – À vrai dire, nous avons discuté à nouveau du paradoxe sorite et du Menteur, et nous sommes encore disputés.

PHARAMMÉNION. – Essayons de voir si cette fois, vous réussissez à entendre le point de vue de l’autre et à en discuter de manière raisonnée.

VALLIDOR. – Voyons avec le paradoxe de Goodman…

PHARAMMÉNION. – Le paradoxe de Goodman est un paradoxe qui a captivé les philosophes au point d’engendrer une énorme littérature. Ce paradoxe a été exposé par le philosophe américain Nelson Goodman (1906-1998) dans un de ses ouvrages majeurs : « Faits, fictions et prédictions », qui est paru dans sa version originale en 1954. Voici comment Goodman décrit son paradoxe. Supposez tout d’abord que toutes les émeraudes que vous avez examinées avant l’an 2015 aient été vertes. Dans ce cas, les observations que vous avez faites, ne confirment-elles pas l’hypothèse selon laquelle « Toutes les émeraudes sont vertes » ?

ÉPHILODIE. – Là, le choix apparaît limité? Il est difficile de répondre autre chose que « oui ».

VALLIDOR. – Ce sera aussi ma réponse. Je ne vois pas d’ailleurs ce qu’on pourrait répondre d’autre.

PHARAMMÉNION. – Nous nous trouvons donc en présence d’un consensus. Mais cela pourrait ne pas durer… Voyons voir si j’introduis maintenant un nouveau prédicat, un peu moins familier que « vert »… Il s’agit du prédicat « vleu ».

VALLIDOR. – « Vleu » ?

PHARAMMÉNION. – Oui. Le prédicat « vleu »s’applique à tous les objets verts qui ont été examinés avant l’an 2015, ou aux objets bleus observés après l’an 2015.

VALLIDOR. – C’est là un prédicat bien étrange, non ?

PHARAMMÉNION. – Pourtant, est-il illégitime de construire un tel prédicat et de lui appliquer notre raisonnement ? Ou bien devons-nous limiter notre raisonnement aux prédicats communs et nous interdire des prédicats nouveaux ou inhabituels ?

VALLIDOR. – Non, assurément.

PHARAMMÉNION. – Nous pouvons donc éprouver notre raisonnement et voir comment le prédicat « vleu » se comporte. Mais pour commencer, raisonnons à partir du prédicat « vert ». Là, nous sommes en terrain familier. Supposons ainsi que toutes les émeraudes que nous avons observées jusqu’à aujourd’hui aient été vertes. Ainsi, nous pouvons prédire, à partir de ces observations, que l’émeraude que nous verrons en 2015 sera également verte.

VALLIDOR. – C’est là un raisonnement tout à fait classique, basé sur l’induction. Là aussi, on ne peut qu’être d’accord.

ÉPHILODIE. – Nous énumérons un certain nombre d’instances d’émeraudes, que nous avons observées jusqu’à présent; et nous construisons ainsi la généralisation selon laquelle « Toutes les émeraudes sont vertes ». À partir de cela, nous sommes en mesure de prédire que la prochaine émeraude que nous observerons en 2015 sera également verte. Il ne s’agit là que d’induction très classique. La première émeraude que nous avons observée était verte, de même que la seconde, que la troisième, …, et de même enfin que la neuf cent quatre-vingt-dix neuvième émeraude que nous avons examinée. Nous en concluons que la millième émeraude que nous allons observer sera également verte. Ainsi, par l’induction énumérative, nous projetons valablement le prédicat « vert ».

eub-goodmanVALLIDOR. – Il n’y a vraiment rien là qui soit de nature à nous choquer. Mais j’imagine que tout n’a pas été dit…

PHARAMMÉNION. – En effet, les choses vont se compliquer quelque peu, voire s’envenimer si nous essayons de projeter le prédicat « vleu ». Voyons donc ce qui se passe si nous appliquons l’énumération inductive au prédicat « vleu ». Toutes les émeraudes que nous avons observées jusqu’à présent étaient vertes, mais par la définition de « vleu », c’est-à-dire « vertes et examinées avant l’an 2015, ou bleues et observées après l’an 2015 », elles étaient également « vleues ». Ainsi, la première émeraude que j’ai observée était « vleue », de même que la seconde, la troisième, et ainsi de suite jusqu’à la neuf cent quatre-vingt-dix neuvième. De là, par énumération inductive, nous construisons la généralisation selon laquelle « Toutes les émeraudes sont vleues ». Et nous prédisons ainsi que la prochaine émeraude que nous trouverons sera également « vleue ». Il s’agit là du même type de raisonnement inductif que nous avons appliqué précédemment au prédicat « vert ». Mais avec le prédicat « vleu », qui signifie « vert et examiné avant l’an 2015, ou bleu et examiné après l’an 2015 », cela a pour conséquence que la prochaine émeraude observée en 2015 sera bleue.

ÉPHILODIE. – Et voilà le commencement des complications…

PHARAMMÉNION. – La première complication résulte de la confrontation des deux prédictions qui résultent de des deux projections inductives. Car la première prédiction, effectuée à l’aide du prédicat « vert », conduit à la conclusion que la prochaine émeraude observée en 2015 sera verte. Mais la prédiction qui résulte de la projection de « vleu » est que la prochaine émeraude observée sera « vleue » et donc bleue après 2015. Ainsi, les deux prédictions concurrentes sont contradictoires. Par conséquent, l’une des deux projections n’est pas correcte.

ÉPHILODIE. – C’est très clair, c’est la projection basée sur « vleue » qui n’est pas correcte. Alors que celle qui est basée sur « vert » est, elle, tout à fait correcte.

PHARAMMÉNION. – Notre intuition nous recommande en effet de rejeter cette dernière projection, basée sur le prédicat « vleu ». Mais qu’est-ce exactement, que nous pouvons reprocher à ce prédicat ?

ÉPHILODIE. – Le prédicat « vleu » est étrange, et il ne ressemble en rien aux prédicats habituels que nous projetons quotidiennement, avec succès. En effet, « vleu » comporte une référence temporelle, et c’est là ce qui le distingue d’un prédicat ordinaire tel que « vert ». Le paradoxe de Goodman ne tient qu’à cela : l’introduction d’un prédicat dont la structure n’est pas celle de nos prédicats usuels. Ainsi, si l’on interdit simplement la projection des prédicats tels que « vleu », qui comportent une clause temporelle, on empêche le paradoxe de se manifester. Il suffit donc de proscrire pour l’induction les prédicats qui comme « vleu », comportent une référence temporelle. Et le paradoxe se trouve de ce fait résolu.

PHARAMMÉNION. – Je vois. La solution que tu suggères, Éphilodie, est basée sur une dichotomie entre les prédicats qui comportent une référence temporelle et ceux qui n’en comportent pas. Tu préconises de n’utiliser pour l’induction que les seconds.

VALLIDOR. – Oui, mais ta solution me parait engendrer d’autres difficultés. Car il existe des prédicats qui comportent une référence temporelle et dont la projection inductive ne pose aucun problème. Je vais te prendre un exemple. Considérons une cerise : celle-ci est verte avant maturité, et rouge après. Une telle propriété s’applique aux quatre-vingt dix-neuf cerises que je viens de voir sur les cerisiers de mon jardin, mais aussi à la centième cerise que je peux observer dans le jardin de mon voisin. Ainsi, si je considère le prédicat « vert avant le mois de juin et rouge après le mois de juin », il s’avère que je peux parfaitement le projeter pour les quatre-vingt dix-neuf cerises de mon cerisier. L’existence d’une référence temporelle dans ce prédicat n’empêche pas la projection inductive. De nombreux prédicats de ce type peuvent ainsi être appliqués à toutes sortes de fruits ou de légumes, mais aussi à la plupart des plantes. Ta solution n’en est pas une, car elle interdit la projection de prédicats dont l’utilisation est quotidienne.

ÉPHILODIE. – Ton cas des cerises me parait un peu particulier.

VALLIDOR. – Particulier ? Mais cela vaut aussi pour les tomates, les fraises, les abricots, les prunes, pour ne citer que quelques exemples. Si tu devais t’abstenir de manger toutes les choses auxquelles ce type de prédicats s’appliquent, tu serais bien dans l’embarras.

ÉPHILODIE. – Mais ce serait bon pour mon régime !

VALLIDOR. Un peu trop bon, car cela est susceptible de s’appliquer à tous les légumes et tous les fruits. Car en ce qui les concerne, on observe le plus souvent un changement de couleur après la maturité. Et même dans la vie animale, nombreuses sont les espèces où chaque spécimen connait un changement de couleur au cours de son existence. Plus généralement, nombreux sont les spécimens appartenant à une espèce qui subissent un changement d’une propriété donnée durant leur cycle de vie. Ainsi, si nous devions interdire tous les prédicats qui comportent une clause temporelle, nous serions bien en peine de décrire tous les phénomènes biologiques qui comportent un changement. Et un tel changement apparaît assez universel. Je crains que cela ne soit un prix à payer beaucoup trop fort pour la résolution d’un paradoxe. Paralyser toute la biologie, dans le seul but de résoudre un paradoxe…

ÉPHILODIE. – Mais tu ne m’empêcheras pas de penser que le prédicat « vleu » est un prédicat étrange, qui ne ressemble pas à nos prédicats usuels. Je veux bien que « vert puis rouge » soit projetable. Mais « vleu » n’est pas projetable. Il se différencie de nos prédicats familiers.

VALLIDOR. – Pourtant, plus nous l’utilisons, puis il devient familier. Ce qui désarçonne de prime abord avec « vleu », c’est que nous n’avons pas l’habitude de l’utiliser, mais avec le temps, nous pouvons nous y habituer.

ÉPHILODIE. – Oui, mais la projection de « vleu » conduit à un paradoxe. Il en résulte une contradiction. Ce n’est pas le cas avec nos prédicats usuels. Tout prédicat ne peut être projetable. Certains sont projetables, d’autres ne le sont pas. Et « vleu » n’est tout simplement pas projetable.

PHARAMMÉNION. – C’était aussi la solution avancée par Nelson Goodman lui-même pour résoudre son paradoxe. Il considérait en effet qu’il convient d’établir une distinction entre les prédicats qui sont projetables, et ceux qui ne le sont pas. Dans son ouvrage « Faits, fictions et prédictions », Goodman indique que les prédicats projetables sont basés sur la notion d’« enfouissement », et que seuls ces derniers peuvent servir valablement de support à une induction énumérative. En revanche, poursuit Goodman, les prédicats qui ne sont pas « enfouis » dans notre pratique inductive, au nombre desquels se trouve « vleu », ne conviennent pas pour cela. Pour Goodman en effet, les prédicats projetables sont seulement ceux qui sont enfouis, implantés dans notre pratique inductive usuelle. C’est le fait que ces prédicats aient été projetés dans le passé avec succès qui justifie leur utilisation présente.

VALLIDOR. – Je ne suis pas convaincu non plus par cette solution. Car de nouveaux prédicats ne sont-ils pas créés chaque jour ? Des néologismes apparaissent en effet quotidiennement dans toutes les langues. Alors les prédicats correspondants ne seraient pas projetables ? Ceci conviendrait à empêcher toute innovation, toute création de prédicat nouveau. Avec ce type de règles, nous serions contraints à vivre avec un stock de prédicats, et à ne plus en ajouter. Nous serions vite envahis par les prédicats obsolètes… Et certains prédicats seraient en quelque sorte interdits d’induction… Et sur quel critère se fonderait cet ostracisme ?

ÉPHILODIE. – Tu réfutes systématiquement les solutions que je propose.

VALLIDOR. – Je suis obligé de les réfuter, car elles ne me conviennent pas. Ce que nous enseigne la pratique et l’expérience quotidienne, c’est que les néologismes et les termes nouveaux qui viennent d’être créés sont parfaitement projetables et utilisables pour l’induction. Pour cette raison, cette notion de prédicats « enfouis » ne me semble pas adéquate pour résoudre le paradoxe.

PHARAMMÉNION. – Bien. Je crois que nous avons assez parlé du paradoxe de Goodman pour aujourd’hui. Discutez-en encore, et nous verrons plus tard.

200px-Decoline01.svg

 

 

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE LA COURSE

ÉPHILODIE. – Nous avons parlé jusqu’à présent des paradoxes non résolus. Mais certains paradoxes n’ont-ils pas été résolus ? Cela apporterait peut-être une note positive dans ce monde des paradoxes, où semble-t-il, on échoue toujours à trouver une solution…

PHARAMMÉNION. – Vous verrez que le fait d’échouer à trouver une solution aux grands paradoxes contemporains ne doit pas nécessairement donner lieu à une conclusion négative. Les paradoxes non résolus ont beaucoup de leçons à nous apprendre, et cela, même si nous échouons à leur trouver une solution. Enfin, vous avez le temps d’apprécier cela…

ÉPHILODIE. – Il me plairait de savoir si tel ou tel paradoxe ancien a été résolu. Nous pourrions peut-être en tirer des enseignements utiles pour l’étude des paradoxes actuels. Peut-être pourrions-nous en tirer des leçons concernant la voie à suivre pour résoudre les paradoxes contemporains.

VALLIDOR. – À ce propos, comment sait-on qu’un paradoxe est résolu ? En général, chacun de ceux qui proposent une solution pour un paradoxe – et c’est aussi le cas pour le Menteur – croient fermement qu’il s’agit de la solution idéale, qui résout totalement le paradoxe. Lorsqu’on parcourt la littérature sur les paradoxes, chaque auteur est tout à fait persuadé de détenir « la » solution.

PHARAMMÉNION. – En fait, la reconnaissance qu’un paradoxe a été résolu résulte essentiellement d’un consensus. Si la communauté des logiciens et des philosophes considère que l’une des solutions proposées pour résoudre le Menteur doit être acceptée, alors cette solution est finalement adoptée. Mais le fait qu’un auteur clame qu’il détient une solution qui résout tout n’est pas un critère de résolution. Ainsi, la démarche qui préside à la résolution d’un paradoxe est essentiellement basée sur le consensus.

VALLIDOR. – On peut faire un parallèle avec le problème que pose le paradoxe. Car le problème qui en résulte se pose effectivement à tous. Nous reconnaissons unanimement que le raisonnement correspondant pose problème. Et c’est ainsi le raisonnement humain, notre raisonnement à tous, qui est en cause. Il est donc naturel que la solution doive également être acceptée par tous.

ÉPHILODIE. – Ainsi, il y a consensus pour reconnaître l’existence du problème. Et c’est également par le consensus que la solution doit émerger.

PHARAMMÉNION. – Les paradoxes non résolus ont encore beaucoup de leçons à nous apprendre. Et ces leçons sont essentiellement liées à nos échecs répétés pour leur trouver des solutions. Nous allons donc évoquer aujourd’hui le cas d’un paradoxe qui a bien été résolu. Lui aussi, comme tu le soulignes, Éphilodie, a des choses fort intéressantes à nous enseigner. Ce paradoxe résolu est l’un des paradoxes de Zénon d’Élée (environ 490-425 avant Jésus-Christ). Il s’agit du paradoxe de la course. Son étude est tout à fait enrichissante, car elle met en lumière à la fois ce qui engendre le paradoxe à une époque donnée, et ce qui permet sa résolution un peu plus tard. Le paradoxe de la course illustre parfaitement comment certaines connaissances faisaient défaut à l’époque où le paradoxe se posait avec toute son acuité. On peut conjecturer qu’il en va de même, à l’heure actuelle, pour certains des paradoxes que nous avons étudiés. Certaines connaissances importantes peuvent nous faire défaut aujourd’hui, expliquant ainsi pourquoi nous échouons à résoudre ces mêmes paradoxes. J’en viens maintenant à la description du paradoxe de la course. À ce propos, connaissez-vous Zénon d’Élée ?

Zeno_of_Elea_Tibaldi_or_Carducci_EscorialÉPHILODIE. – Zénon était un philosophe grec et disciple de Parménide. Il était membre de l’école éléatique, fondée par Xénophane. Aristote considérait Zénon comme l’inventeur de l’expression dialectique de la pensée à travers le dialogue. Mais surtout, Zénon est bien connu pour une série de paradoxes qui lui ont survécu, et dont la finalité est de démontrer l’impossibilité de tout mouvement.

PHARAMMÉNION. – Le paradoxe de la course en effet constitue un de ces paradoxes célèbres dus à Zénon d’Élée. Ce paradoxe nous est d’ailleurs rapporté par Aristote dans sa « Physique », et je vous donnerai directement la description qu’en fait Aristote. Cette mention du paradoxe par Aristote est tout à fait remarquable. En effet, elle est parfaitement claire et pourrait très bien être utilisée de nos jours. Une telle description précise du paradoxe de la course par Aristote a traversé les siècles sans prendre une seule ride. Voici donc les termes exacts dans lesquels Aristote décrit le paradoxe :

Tu ne peux pas franchir en un temps fini un nombre de points infini. Tu es obligé de franchir la moitié d’une distance donnée quelconque avant de franchir le tout, et la moitié de cette moitié avant de pouvoir franchir celle-ci. Et ainsi de suite ad infinitum, de sorte qu’il y a un nombre infini de points dans n’importe quel espace donné, et tu ne peux en toucher un nombre infini l’un après l’autre en un temps fini.

ÉPHILODIE. – En même temps, cette description du paradoxe de la course par Aristote est très succincte.

VALLIDOR. – Aristote utilise en effet très peu de mots pour décrire le paradoxe. C’est particulièrement condensé.

ÉPHILODIE. – On retrouve toujours la simplicité dans la description du paradoxe.

VALLIDOR. – Et l’effet de filtre qui lui a permis de parvenir jusqu’à nous.

PHARAMMÉNION. – Cette description, faite par Aristote, est tout à fait explicite, et pourrait constituer valablement une définition contemporaine du paradoxe de la course. De manière équivalente, on présente souvent le paradoxe en mettant en scène un coureur. Celui-ci s’apprête à parcourir une distance séparant deux points. Appelons-les A et B. Pour aller jusqu’au point B, le coureur devra d’abord parcourir la moitié de la distance qui sépare le point A du point B. Cependant, une fois qu’il aura parcouru la moitié de cette distance, il devra encore parcourir la moitié de la distance qui le sépare encore de l’arrivée au point B. Et une fois qu’il sera parvenu à ce point, le coureur aura alors parcouru les trois quarts de la distance qui le sépare de B. Mais de là, il devra encore parcourir la moitié de la distance le séparant de l’arrivée. Et ce raisonnement peut être répété à l’infini. De la sorte, le coureur devra parcourir un nombre infini de fois un certain nombre de distances finies. Et ceci devrait donc prendre un temps infini. Il en résulte que le coureur ne parviendra jamais à l’arrivée en B. Cette conclusion est paradoxale, car on sait bien que les coureurs finissent par achever leur course.

ÉPHILODIE. – Est-ce que ce n’est pas une réponse que l’on peut faire au paradoxe ? Car chacun sait que l’on peut se déplacer d’un point à un autre. Il s’agit là d’une constatation que chacun de nous peut effectuer quotidiennement. Ainsi, le paradoxe décrit un scénario qui ne correspond pas à la réalité. La conclusion selon laquelle le coureur ne parviendra pas à la ligne d’arrivée est tout simplement fausse. Je ne vois pas où est le paradoxe dans tout cela.

PHARAMMÉNION. – Ce type d’objection est précisément formulé par Aristote, dans sa « Physique », par l’intermédiaire de Simplicius. En effet, la conclusion du raisonnement qui résulte de l’énoncé du paradoxe de la course, est fausse, j’en conviens. Il s’agit d’une constatation empirique que nous pouvons faire chaque jour. Mais précisément, il s’agit là d’un effet du paradoxe. La conclusion à laquelle il nous conduit est en contradiction avec certaines de nos connaissances élémentaires. En ce sens, le paradoxe de la course est un paradoxe où la contradiction se manifeste avec l’ensemble de nos connaissances et de nos croyances. Mais une telle objection ne permet pas de résoudre le paradoxe, car elle souligne seulement une caractéristique du paradoxe de la course, à savoir la manière dont la contradiction s’y manifeste. Ce qui est nécessaire, afin de résoudre le paradoxe, c’est de décrire avec précision ce qui pèche dans le raisonnement correspondant. Et comme pour les autres paradoxes, il s’agit ici de décrire quelle est l’étape fallacieuse – ou éventuellement les étapes – dans le raisonnement décrit par Zénon. Avez-vous une idée maintenant de la solution que l’on peut donner au paradoxe de la course ?

ÉPHILODIE. – A priori, je soupçonne une étape d’être fallacieuse dans le raisonnement suivi par Zénon. Il s’agit de la conclusion selon laquelle « le fait de parcourir un nombre infini de fois des distances finies, doit prendre un temps infini ». Je ne suis pas prête à adhérer à cela et quelque chose me choque ici.

PHARAMMÉNION. – Il est clair que pendant la durée de la course, le coureur devra parcourir un nombre infini de fois des distances finies. Cela en effet, est exact. Mais faut-il en conclure que pour cette raison, cela devra prendre une durée infinie ?

ÉPHILODIE. – Précisément, c’est cette étape particulière que je ne suis pas disposée à admettre.

PHARAMMÉNION. – Oui, mais il conviendrait de formuler précisément ce qui ne va pas.

VALLIDOR. – Cela pourrait se formuler à l’aide des mathématiques, non ?

PHARAMMÉNION. – En effet, cette situation peut être modélisée en recourant à des mathématiques simples. Considérons la distance qui sépare la ligne de départ de la ligne d’arrivée. Le coureur doit ainsi parcourir la moitié (1/2) de cette distance, puis le quart (1/4), puis le huitième (1/8), puis le seizième (1/16), puis le trente-deuxième (1/32) et ainsi de suite… Il convient ainsi de totaliser 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … et ainsi de suite jusqu’à l’infini. Il s’agit ici de ce que les mathématiciens contemporains appellent une « série infinie ». Les propriétés mathématiques de telles séries infinies n’étaient pas connues à l’époque de Zénon. Et il a fallu attendre les travaux réalisés notamment par le mathématicien français Augustin Louis Cauchy (1789-1857), qui ont montré que les séries infinies possédaient des propriétés étonnantes, et en particulier que leur somme pouvait être finie. Au cas particulier, Cauchy a démontré que la somme de la série infinie 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … était égale à 1. Et ce 1 correspond à la distance de la ligne de départ à celle d’arrivée. Ainsi, on peut bien parcourir en un temps fini une distance composée d’un nombre infini de distances finies. Et ceci permet finalement d’apporter une solution au paradoxe de la course.

ÉPHILODIE. – Je vois. Cela montre comment ce qui empêchait de résoudre le paradoxe de la course, à l’époque de Zénon et avant les travaux de Cauchy, est le fait que l’on ne disposait pas de l’outil mathématique permettant de modéliser une telle situation. En l’absence d’un tel outil, on ne pouvait résoudre le problème posé par le paradoxe qu’en se basant sur l’intuition. Or l’intuition est plutôt qu’une somme infinie de distances finies est infinie.

VALLIDOR. – Et une telle intuition était erronée.

ÉPHILODIE. – Car c’est l’inverse qui est vrai : une somme infinie de distances finies est dans ce cas, finie.

VALLIDOR. – C’est ainsi l’intuition qui était prise en défaut ici. Il faut donc s’en méfier, n’est-ce-pas ?

ÉPHILODIE. – Oui, la leçon de cette histoire n’est-elle pas que l’on doit se méfier de nos intuitions ?

PHARAMMÉNION. – Tirez-en les conclusions que vous voulez. Mais dans le paradoxe de la course, c’était bien l’intuition selon laquelle « on ne peut parcourir en un temps fini une distance composée d’un nombre infini de distances finies » qui était en défaut.

200px-Decoline01.svg

 

NOUVEAU DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE LA BELLE AU BOIS DORMANT

PHARAMMÉNION. – Avez-vous pris le temps de réfléchir à nouveau sur le paradoxe de la Belle au bois dormant ? Vous vous souvenez qu’il conduit à deux raisonnements qui paraissent tout à fait cohérents, mais dont les conclusions sont néanmoins contradictoires. En effet, l’une des solutions est un tiers alors que l’autre est un demi. L‘un des deux raisonnements est donc fallacieux, puisqu’il n’y a pas de place ici pour les deux conclusions. Mais lequel des deux ? Et quelle est donc l’étape fallacieuse dans ce raisonnement ? Le problème de la Belle au bois dormant consiste précisément à déterminer quelle est l’étape fallacieuse dans l’un des deux raisonnements. Mais chacun des deux types de raisonnements possède ses défenseurs et ses détracteurs.

ÉPHILODIE. – J’ai dit tout à l’heure que j’avais déjà étudié le paradoxe de la Belle. J’avoue y avoir consacré quelques heures de réflexion. Je ne veux pas dire par là quelques heures d’affilée, mais plutôt que j’y ai réfléchi pendant quelques heures, réparties sur plusieurs jours. Eh bien, ma première opinion était que la probabilité était égale à un tiers. Mais ensuite, je me suis laissé convaincre, en partie, par les arguments des défenseurs de la probabilité un demi, qui font valoir qu’aucun élément nouveau n’est intervenu, qui justifie le fait que la Belle modifie sa probabilité initiale. Pourtant, peu de temps après, je suis revenue à nouveau sur la probabilité d’un tiers. À vrai dire, je crois bien avoir fait plusieurs allers-retours et avoir modifié mon point de vue plusieurs fois, au fur et à mesure que ma réflexion avançait.

VALLIDOR. – Ah ! C’est curieux, mais ce mouvement de va-et-vient m’était arrivé aussi lors de l’étude du paradoxe de Goodman. J’avais été tenté un instant par l’idée que le prédicat « vleu » était finalement acceptable, et puis j’en suis venu, presque malgré moi, à considérer qu’il était incorrect. Je crois bien avoir abandonné ensuite cette idée, pour revenir ensuite à l’idée que le prédicat « vleu » était finalement acceptable pour l’induction. J’avoue être dans une certaine confusion à présent.

PHARAMMÉNION. – Ce type d’oscillation peut surprendre en effet, mais à vrai dire, il est tout à fait familier à ceux qui étudient les paradoxes. On commence par être convaincu par une solution, puis on se range du côté de ceux qui ont émis une objection à cette solution, et on revient ensuite à la solution initiale, puis on se range à nouveau dans le camp des opposants à cette solution, etc. Les allers-retours peuvent être nombreux…

ÉPHILODIE. – En réfléchissant sur la Belle, j’avoue que la bascule de la solution un tiers à la solution un demi se faisait en quelque sorte de manière automatique, presque malgré moi.

eub-neckerPHARAMMÉNION. – Cela ne rappelle-t-il pas le phénomène des images ambiguës ? Vous savez ce que sont les images ambiguës ? Ce sont des images, telles le cube de Necker, l’illusion canard-lapin ou le triangle de Penrose, pour lesquelles, lorsqu’on les examine, on passe de la perception d’une image à une autre. Ce phénomène a été qualifié de perception multistable. Pour utiliser l’analogie avec les images ambiguës, je dirai que celui qui ne perçoit pas la solution alternative dans les paradoxes est comme celui qui ne voit que le canard, ou bien seulement le lapin.


eub-rabbitÉPHILODIE. – Il faut donc s’entraîner à voir le lapin
dans les paradoxes… Lorsqu’on ne le voit pas et que soudain il apparaît, c’est bon signe.

PHARAMMÉNION. – Oui, voir le lapin d’abord est une des phases. Et voir le canard ensuite en est une autre. Lorsqu’on a vu à la fois le lapin et le canard dans le paradoxe, l’étude du paradoxe peut véritablement commencer…

 

200px-Decoline01.svg

 

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE HEMPEL

PHARAMMÉNION. – Jusqu’à présent, nous n’avons pas évoqué le cas du paradoxe de Hempel, ou « paradoxe des corbeaux ». Carl Hempel (1905-1997) était un des membres influents de l’école du positivisme logique, aux côtés notamment de Rudolph Carnap. Hempel a publié son paradoxe pour la première fois en 1945 dans un article de la célèbre revue Mind. En voici la description. Le point de départ en est la proposition suivante : « Tous les corbeaux sont noirs ». Hempel se place ainsi dans le contexte qui est celui de la théorie de la confirmation. À cet égard, qu’est-ce qui peut, selon vous, confirmer l’hypothèse selon laquelle « Tous les corbeaux sont noirs » ?

eub-ravenÉPHILODIE. – Clairement, la découverte d’un corbeau noir confirme une telle hypothèse.


PHARAMMÉNION. – Et maintenant, qu’est-ce qui pourrait infirmer une telle hypothèse ?

VALLIDOR. – Eh bien, ce serait par exemple, la découverte d’un corbeau bleu.

ÉPHILODIE. – L’hypothèse selon laquelle « Tous les corbeaux sont noirs » est donc clairement réfutable. C’est un critère important, sur lequel Karl Popper a attiré notre attention. Un tel critère permet notamment de distinguer une démarche scientifique, rationnelle, où les hypothèses que l’on fait sont réfutables, et une démarche non rationnelle, où les hypothèses que l’on formule ne peuvent simplement pas être réfutées. Dans notre cas, l’hypothèse selon laquelle « Tous les corbeaux sont noirs » est donc réfutable, et satisfait ainsi le critère de Popper.

PHARAMMÉNION. – On peut rappeler à cet égard ce qui s’est passé à propos des cygnes. Initialement, on croyait fermement en Europe que « Tous les cygnes sont blancs ». Eh bien, une telle hypothèse a été rendue fausse par la découverte, au cours du XIXème siècle, de cygnes noirs en Australie. Ceci illustre tout l’intérêt qu’une hypothèse soit falsifiable. Mais continuons notre progression. Il s’avère d’autre part que la proposition selon laquelle « Tous les corbeaux sont noirs » est équivalente à cette autre proposition : « Tous les objets non-noirs sont des non-corbeaux ». Car cette dernière proposition est la forme contraposée de la première. De même, on peut considérer également que tout ce qui confirme une proposition donnée confirme également toute proposition qui lui est équivalente.

ÉPHILODIE. – Ces deux principes peuvent être acceptés en effet.

PHARAMMÉNION. – Eh bien, dans ce cas, ne s’ensuit-il pas que ce qui confirme « Tous les objets non-noirs sont des non-corbeaux » confirme également « Tous les corbeaux sont noirs », puisque la première proposition est la forme contraposée de la seconde ?

ÉPHILODIE. – Oui, c’est la conséquence de l’adoption des principes précédents.

PHARAMMÉNION. – À ce stade en effet, rien de dommageable n’est encore apparent, et notre intuition n’est pas encore malmenée.

ÉPHILODIE. – Donc, cela ne va pas durer…

PHARAMMÉNION. – Oui. La mauvaise nouvelle est que les choses vont se gâter rapidement… Car certains paradoxes ont l’art de nous amener dans des directions où notre intuition ne veut pas les suivre. Continuons, donc. Le fait que ce qui confirme « Tous les objets non-noirs sont des non-corbeaux » confirme également « Tous les corbeaux sont noirs » entraîne maintenant la conséquence suivante : la découverte d’un merle bleu, qui confirme l’assertion selon laquelle « Tous les objets non-noirs sont des non-corbeaux », confirme alors également l’affirmation selon laquelle « Tous les corbeaux sont noirs ». Et il en va de même pour la découverte d’une chaussure blanche. Voilà tout l’effet du paradoxe de Hempel.

VALLIDOR. – Clairement, notre intuition est plutôt malmenée.

PHARAMMÉNION. – En même temps, cela nous éclaire sur l’effet particulier qui est celui du paradoxe de Hempel. Car celui-ci vient heurter violemment notre intuition, où si vous préférez, sa conclusion a pour effet d’être en contradiction avec l’ensemble de nos croyances et de nos connaissances.

VALLIDOR. – Pour nous, une chaussure blanche se révèle sans rapport aucun avec un corbeau noir. Il en va de même pour la découverte d’un flamant rose, d’un cigare cubain ou d’un escalier en colimaçon.

ÉPHILODIE. – Dans un certain sens, ne pourrait-on concevoir qu’une telle conclusion soit acceptable ? Il suffirait de considérer que la découverte d’un flamant rose confirme effectivement la proposition selon laquelle « Tous les corbeaux sont noirs », mais seulement à un degré infinitésimal. En effet, le nombre de non-corbeaux est beaucoup plus élevé que le nombre de corbeaux. Avec une telle solution, notre intuition ne serait-elle pas un tant soit peu préservée ?

eub-flameeub-flameeub-flame
eub-flamePHARAMMÉNION. – Ce type de solution pour résoudre le paradoxe de Hempel a été formulé de manière classique et conduit ainsi à en accepter la conclusion. Remarquons que l’énoncé du paradoxe conduit à déterminer quatre catégories d’objets : les corbeaux noirs, les corbeaux non-noirs, les non-corbeaux noirs et les non-corbeaux non-noirs. Ici, il s’avère que les non-corbeaux non-noirs sont infiniment plus nombreux que les corbeaux noirs. Selon ce point de vue, la confirmation de l’hypothèse selon laquelle « Tous les corbeaux sont noirs » qui résulterait de l’observation d’un flamant rose ne serait qu’infinitésimale. Est-ce que vous seriez prêts à accepter ce type de solution ?

ÉPHILODIE. – Je vois poindre les objections…

PHARAMMÉNION. – Alors quelles pourraient donc être les objections à ta solution ?

ÉPHILODIE. – Là, je dois réfuter ma propre solution ?

PHARAMMÉNION. – Oui, c’est exactement ça. Ce n’est pas habituel, je sais, mais essaie…

ÉPHILODIE. – Si je devais formuler une objection, eh bien, je dirais que je me refuse à accepter l’idée que la découverte d’un merle bleu confirme l’hypothèse que « Tous les corbeaux sont noirs », même à un degré infinitésimal. J’ajouterais que la découverte d’un parapluie vert est sans effet aucun sur la confirmation de l’hypothèse selon laquelle « Tous les corbeaux sont noirs » ! Car dans ce cas, même la découverte d’un objet abstrait tel qu’un entier naturel comme le nombre « soixante-dix huit » confirmerait alors que « Tous les corbeaux sont noirs ». Ce serait absurde. J’ajouterais que selon l’intuition commune, l’effet de confirmation est absolument nul dans tous ces cas ! Il n’est donc pas infinitésimal, mais nul !

PHARAMMÉNION. – Effectivement, ça me paraît une bonne objection à la solution que tu as proposée. C’est d’ailleurs ce qui conduit la majorité des gens à rejeter la tentative de solution précédente, et à rechercher un autre type de solution. Car l’intuition et le bon sens nous inclinent à rejeter ce type de solution. Aurais-tu une autre idée, Vallidor, pour résoudre le paradoxe de Hempel ?

VALLIDOR. – On pourrait avancer que ce qui crée le paradoxe, c’est la disproportion entre le nombre d’objets qui appartiennent à la catégorie des corbeaux et à la catégorie des non-corbeaux ? Comparativement, le nombre des corbeaux est infime, par rapport à celui des non-corbeaux. Ainsi, ce pourrait être le fait de mettre en relation deux catégories qui sont hors de proportion l’une par rapport à l’autre, qui pourrait être la cause du paradoxe.

PHARAMMÉNION. – Pourquoi pas, mais n’y a-t-il pas une objection évidente à ce type d’analyse ? Peux-tu la formuler, Vallidor ?

VALLIDOR. – Ah ! Moi aussi, je dois pratiquer l’auto-objection…

PHARAMMÉNION. – Tout juste.

VALLIDOR. – Eh bien, si je devais formuler une objection, ce serait que l’on pourrait limiter la catégorie des non-corbeaux, de manière à ce qu’elle regroupe seulement, par exemple, toutes les espèces d’oiseaux. Dans ce cas, on aurait toujours le paradoxe, mais sans la disproportion entre les « corbeaux » et les « non-corbeaux ».

PHARAMMÉNION. – Que pourrais-tu répondre à cette objection, en défendant ta solution initiale?

VALLIDOR. – Ah ! Je dois aussi faire la contre-objection… Eh bien, je répondrais naturellement que la disproportion entre les « corbeaux » et les « non-corbeaux » est naturelle. Il y a naturellement plus de « non-corbeaux » que de « corbeaux ». C’est dans l’ordre des choses. Le fait de limiter la catégorie des « non-corbeaux » de manière à ce qu’elle ne regroupe que les « oiseaux » se révèle artificielle. Ainsi, la disproportion est inhérente à la dichotomie entre les « corbeaux » et les « non-corbeaux ».

PHARAMMÉNION. – Et que pourrait alors objecter un contradicteur ?

VALLIDOR. – Il pourrait par exemple objecter que si on limite les « non-corbeaux » aux autres espèces d’oiseaux que les corbeaux, il y a toujours certes une disproportion, mais celle-ci n’est pas énorme et flagrante comme dans la formulation initiale du paradoxe de Hempel. On pourrait ajouter que finalement, on peut bien raisonner sur deux catégories comme les « corbeaux » et les « non-corbeaux », où il existe une certaine disproportion, … acceptable. Car si on ne devait raisonner que sur des catégories numériquement semblables, ce serait quand même une limitation injustifiée à notre capacité à raisonner par rapport à deux catégories.

PHARAMMÉNION. – D’objection en contre-objection, le paradoxe commence à émerger clairement, non ? Ne trouvez-vous pas qu’il commence à prendre forme…

200px-Decoline01.svg

 

 

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE RUSSELL

VALLIDOR. – J’ai réfléchi au paradoxe de Hempel ces derniers jours et j’avoue me trouver à nouveau dans la plus grande perplexité. Au début, j’étais fermement convaincu que la découverte d’un flamant rose ne confirmait en rien le fait que « Tous les corbeaux sont noirs ». Mais après réflexion, des arguments se sont imposés à moi qui ont fini par me convaincre que finalement, la découverte d’un flamant rose confirmait, à un certain degré, le fait que « Tous les corbeaux sont noirs ». Je suis assez troublé par ce changement d’opinion qui s’est fait un peu malgré moi. Encore l’oscillation…

ÉPHILODIE. – Pour moi, c’est un peu l’inverse qui s’est passé. Car après réflexion, j’étais disposée au début à accepter l’idée que la découverte d’un flamant rose confirme parfois le fait que « Tous les corbeaux sont noirs ». Et puis en y réfléchissant, ce sont des objections à cette idée qui me revenaient sans cesse à l’esprit. Il m’est arrivé aussi de revenir à mon de vue initial. Ça oscille aussi…

PHARAMMÉNION. – Continuez donc à y réfléchir. Pour vous distraire du paradoxe de Hempel, nous nous intéresserons aujourd’hui au paradoxe de Russell. Il s’agit d’un paradoxe qui possède une connotation mathématique et qui est lié à la théorie des ensembles. Le paradoxe de Russell possède la signature des grands paradoxes, car comme la plupart d’entre eux, il peut être énoncé très simplement. Il existe plusieurs variations du paradoxe de Russell, que nous envisagerons tour à tour. Mais je commencerai par la version de base du paradoxe, qui le situe clairement au sein de la théorie mathématique des ensembles. De manière informelle, le paradoxe résulte de la prise en considération d’un ensemble particulier : l’ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Or il s’avère que l’existence-même de cet ensemble conduit directement à une contradiction, qui constitue le coeur du paradoxe. La question qui se pose en effet est la suivante : un tel ensemble appartient-il à lui-même ? Lorsqu’on tente de répondre à cette question, on se trouve rapidement face à une contradiction. Nous allons voir cela en détail. Supposons tout d’abord qu’un tel ensemble appartienne à lui-même. Cela vous paraît-il possible ?

ÉPHILODIE. – Eh bien, si cet ensemble appartient à lui-même, alors il n’appartient pas à lui-même. Cela résulte de sa définition-même puisque, par définition, il s’agit de l’ensemble de tous les ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux-mêmes.

PHARAMMÉNION. – Et maintenant, envisageons l’autre hypothèse. Supposons qu’il ne s’appartienne pas à lui-même.

VALLIDOR. – Dans ce cas, il s’ensuit, par sa définition même, qu’il appartient à lui-même.

ÉPHILODIE. – Pour résumer, si cet ensemble n’appartient pas à lui-même, alors il appartient à lui-même. Et s’il appartient à lui-même, alors il n’appartient pas à lui-même. C’est là une vraie signature de paradoxe…

VALLIDOR. – Cela fait penser au Menteur : s’il est vrai, alors il est faux. Et s’il est faux, alors il est vrai.

ÉPHILODIE. – Mais concernant le paradoxe de Russell, ne s’agit-il pas là d’un paradoxe qui n’est que mathématique, qui est étroitement lié à la théorie des ensembles ? Dans ce cas, sa portée serait plutôt restreinte. Le paradoxe ne concernerait pas les non-mathématiciens, c’est-à-dire finalement beaucoup de monde…

VALLIDOR. – L’idée d’introduire la notion de « non-mathématicien » ne me paraît pas judicieuse…

ÉPHILODIE. – Nous avons déjà connu beaucoup de déboires avec le « non-vrai », les « non-corbeaux »… N’en rajoutons pas.

PHARAMMÉNION. – Le paradoxe, pourtant, peut donner lieu à une variation qui n’est pas directement liée à la théorie des ensembles. En effet, une variation classique du paradoxe de Russell est souvent formulée sous la forme du problème du barbier. Le paradoxe émerge dès que l’on considère un barbier qui rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. Avez-vous une idée de la question qui donne lieu à l’émergence du paradoxe ?

VALLIDOR. – Ce doit être la question suivante : ce barbier se rase-t-il lui-même ? Supposons donc que ce barbier se rase lui-même. Alors par définition, il ne se rase pas lui-même. Supposons en revanche que ce barbier ne se rase pas lui-même. Dans ce cas, il s’ensuit qu’il appartient à la catégorie de ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes. Et par conséquent, il se rase lui-même. Nous sommes bien en présence d’une situation contradictoire, identique à celle qui apparaît lorsqu’on considère la définition purement mathématique de l’ensemble de Russell.

PHARAMMÉNION. – Ainsi, le paradoxe se pose aussi dans le langage courant. Et il peut être formulé avec les mots que nous utilisons tous les jours, indépendamment du formalisme des mathématiques.

ÉPHILODIE. – Le paradoxe de Russell est donc également un problème pour les « non-mathématiciens »…

PHARAMMÉNION. – Le fait d’énoncer des versions différentes du paradoxe est souvent fort intéressant. Car cela aide à déceler la structure intrinsèque du paradoxe, à déterminer son noyau véritable, une opération qui apparaît comme un préalable à une possible résolution.

ÉPHILODIE. – On pourrait construire ainsi d’autres variations du paradoxe de Russell. N’a-t-on pas une instance du paradoxe si on considère des collections de collections, et notamment la collection de toutes les collections qui ne se contiennent pas elles-mêmes ?

VALLIDOR. – Je vois. Alors, nous avons également une variation avec un tas de tas. Il ne déplairait pas à Eubulide, je crois, que nous envisagions un tas de tas, et le tas de tous les tas qui ne se contiennent pas eux-mêmes.

ÉPHILODIE. – Lorsqu’on considère un ensemble d’ensembles, une collection de collections, un tas de tas, etc., n’y a-t-il pas là l’équivalent de l’auto-référence ? Ce sont des définitions qui font référence à elles-mêmes.

PHARAMMÉNION. – En effet.

ÉPHILODIE. – Si nous bannissions ce type de structure : un ensemble d’ensembles, une collection de collections, etc., ne serions-nous pas débarrassés du paradoxe ?

PHARAMMÉNION. – Très certainement cela empêcherait la formulation même du paradoxe.

ÉPHILODIE. – Ah ! J’entends déjà l’objection de mon objection, si j’ose dire… Le prix à payer pour la résolution du paradoxe serait alors beaucoup trop fort. Car il faudrait interdire toutes les définitions qui font référence à elles-mêmes.

VALLIDOR. – On interdirait aussi tous les programmes d’ordinateur récursifs, ce qui nous priverait par exemple de beaucoup d’algorithmes de tri très efficaces. J’entends de là dire que tous les ordinateurs pourraient s’arrêter… Inutile par conséquent de nous engager dans cette voie. Elle a déjà montré, lors de l’étude du Menteur et du paradoxe sorite, qu’elle était sans issue. Ainsi, le fantôme d’Eubulide est toujours présent…

ÉPHILODIE. – L’étude des paradoxes, n’est-ce pas surtout l’étude des objections aux raisonnements paradoxaux, et aussi des objections aux objections ?

PHARAMMÉNION. – On commence souvent par croire que l’on dispose d’une solution définitive pour tel ou tel paradoxe. Mais la plupart du temps, on doit déchanter assez vite, car on rencontre le plus souvent une objection solide à cette prétendue solution. Dans une phase ultérieure, on parvient soi-même à trouver des objections à ses propres tentatives de solution, des objections à ses objections…

ÉPHILODIE. – C’est assez étrange tout de même, d’être son propre critique.

VALLIDOR. – C’est une forme d’auto-critique.

PHARAMMÉNION. – Cela paraît étrange en effet, du moins lorsqu’on a peu de pratique de ce type d’exercice. Mais lorsqu’on a acquis une certaine habitude, cela apparaît tout à fait naturel. Lorsqu’on parvient à ce stade, c’est qu’on a assimilé plusieurs des leçons que nous enseignent les paradoxes. D’abord l’humilité. Certains paradoxes défient l’humanité depuis de nombreux siècles, et croire qu’on peut les résoudre aisément apparaît plutôt présomptueux. Mais peut-être qu’avec de nombreux efforts… Une autre leçon est que cela incite à développer une capacité d’auto-critique. Le fait d’apprendre à réfuter ses propres solutions constitue en quelque sorte une capacité méta-cognitive. Vous pouvez échouer à trouver une solution à tous ces paradoxes que nous étudions, mais si leur étude vous permet de développer une telle capacité méta-cognitive, alors on pourra considérer que leur analyse s’est révélée très fructueuse.

VALLIDOR. – N’en étions-nous pas à considérer les différentes versions du paradoxe de Russell ?

PHARAMMÉNION. – En effet, nous en étions à étudier d’autres variations du paradoxe, pour mieux en cerner la structure profonde. Eh bien, une autre version du paradoxe de Russell émerge lorsque l’on considère le catalogue de tous les catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes.

ÉPHILODIE. – Dans ce cas, le problème apparaît dès que l’on se pose la question de savoir si ce catalogue se mentionne lui-même. Car s’il se mentionne lui-même, alors il ne fait pas partie de ce catalogue et donc il ne se mentionne pas lui-même. Et si d’autre part, il ne se mentionne pas lui-même, alors il fait bien partie du catalogue et par conséquent, il se mentionne lui-même. Et nous nous trouvons à nouveau face à la situation contradictoire qui est caractéristique du paradoxe.

PHARAMMÉNION. – Le paradoxe de Russell est apparu, historiquement, dans la théorie naïve des ensembles. Dans cette théorie originale en effet, on pouvait définir les ensembles comme on le souhaitait, sans aucune restriction. Et c’est cela qui permettait de construire l’ensemble de Russell. Ce dernier ensemble constituait un réel problème, puisqu’il conduisait à placer la contradiction directement au coeur de la théorie des ensembles. La solution pour résoudre le paradoxe, qui a été utilisée par les mathématiciens et notamment par Ernst Zermelo, a été de placer au coeur de la théorie des ensembles un certain nombre d’axiomes qui restreignaient le pouvoir d’expression de la théorie, en interdisant notamment de construire l’ensemble de Russell. Ainsi dispose-t-on d’une théorie des ensembles qui est exempte de contradiction. Car la théorie naïve des ensembles s’avérait trop libérale, et autorisait ainsi la construction de l’ensemble de Russell.

ÉPHILODIE. – Le paradoxe de Russell est-il pour autant résolu ? La théorie actuelle des ensembles est demeurée sans contradiction jusqu’à présent, que je sache.

PHARAMMÉNION. – Je ne pense pas que l’on puisse considérer le paradoxe comme véritablement résolu. Car la solution qui a été adoptée pour empêcher que le paradoxe de Russell n’infeste toute la théorie des ensembles peut être considérée comme une démarche ad hoc, qui a pour finalité d’interdire la construction dévastatrice de l’ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Il s’agit d’une mesure d’urgence, certes salutaire. Mais on ne dispose pas pour autant d’un véritable diagnostic de ce qui constitue la cause du paradoxe de Russell et une compréhension du mécanisme qui génère celui-ci. En l’absence d’une telle explication, on ne peut considérer le paradoxe comme définitivement résolu.

VALLIDOR. – Dans un sens, on a adopté une démarche pragmatique. On ne sait pas encore résoudre le paradoxe, mais on l’empêche de nuire, de produire des dégâts. On a tout de même éteint l’incendie.

200px-Decoline01.svg

 

DIALOGUE À PROPOS DES PARADOXES EN GÉNÉRAL

PHARAMMÉNION. – Nous avons tous, Éphilodie, une notion intuitive de ce qu’est un paradoxe. Mais je pense que nous serions plus embarrassés si nous devions en donner une définition précise. As-tu une idée de la définition que l’on pourrait donner d’un paradoxe ?

ÉPHILODIE. – Le Menteur et le paradoxe du tas, par exemple, correspondent bien à la définition intuitive que j’ai d’un paradoxe. Cependant, il m’est plus difficile d’en donner véritablement une définition précise. Je pense quand même que la contradiction se trouve au coeur de la notion-même de paradoxe.

PHARAMMÉNION. – La notion de paradoxe philosophique en soi est controversée. Mais nous pouvons tout de même avancer et essayer de progresser vers une définition acceptable. Comme tu le soulignes, la contradiction est une composante essentielle du paradoxe. Je crois que c’est un bon point de départ.

ÉPHILODIE. – Tout de même, il ne suffit pas de dire que le paradoxe conduit à une contradiction. Il me semble que celle-ci se manifeste de diverses façons. Par exemple, dans le paradoxe du Menteur, la proposition « Cette proposition est fausse » est vraie si elle est fausse, et fausse si elle est vraie. C’est cette contradiction même qui pose problème. Mais la contradiction se manifeste ici de deux manières : elle apparaît si on tente d’attribuer la valeur de vérité « vrai » au Menteur, et de même si on essaie de lui attribuer la valeur de vérité « faux ». Ainsi, dans les deux cas, on a une contradiction.

VALLIDOR. – J’ajouterai que la contradiction que l’on observe dans le paradoxe de Russell est du même type que celle du Menteur. Car dans le paradoxe de Russell, on échoue à répondre à la question : l’ensemble de Russell appartient-il à lui-même ? S’il appartient à lui-même, alors il n’appartient pas à lui-même. Et s’il n’appartient pas à lui-même, alors il appartient à lui-même. On a deux réponses possibles, mais chacune d’elles conduit à une contradiction. La structure de cette contradiction est identique à celle du Menteur.

PHARAMMÉNION. – Et maintenant, comment se manifeste la contradiction dans le paradoxe sorite ?

ÉPHILODIE. – Dans le paradoxe sorite, c’est assez différent. Là, on a surtout une contradiction entre la conclusion selon laquelle « Un ensemble comportant un grain de sable est un tas » et le bon sens. Car la conclusion du paradoxe sorite vient heurter directement le bon sens, le sens commun.

PHARAMMÉNION. – Ne peut-on être plus précis ? C’est un peu vague, le sens commun, non ?

ÉPHILODIE. – Je dirais que la conclusion du paradoxe sorite vient se mettre en contradiction avec l’ensemble de notre système de croyances et de pensées. Une telle conclusion n’est pas acceptable, car il n’est pas raisonnable de considérer qu’une collection d’un seul grain de sable est un tas. En un mot, la conclusion du paradoxe sorite est incohérente avec l’ensemble de nos connaissances.

VALLIDOR. – Et cela vaut même pour une collection qui ne comporte aucun grain de sable !

ÉPHILODIE. – Cette conclusion déraisonnable nous incite à remettre en question l’ensemble du raisonnement, puisqu’elle heurte l’ensemble de nos croyances et nos connaissances.

VALLIDOR. – Ce pourrait être l’ensemble de nos croyances qui est en cause. Elles ne sont pas intangibles, que je sache ?

PHARAMMÉNION. – Peut-être, mais il faudrait alors en faire la démonstration. Voyez-vous d’autres types de contradictions dans les paradoxes que nous avons étudiés ?

ÉPHILODIE. – J’ajouterai aussi que l’on peut prolonger cette distinction entre les catégories de paradoxes, en y classant le paradoxe de Hempel.

VALLIDOR. – Ici, nous suivons un peu la voie tracée par Nelson Goodman : nous construisons des catégories nouvelles…

PHARAMMÉNION. – Heureusement finalement que nous nous sommes réservé ce droit, en réfutant certaines tentatives de solution trop faciles, qui nous demandaient de renoncer à cette liberté…

ÉPHILODIE. – Je poursuis sur Hempel. J’aurais tendance à classer le paradoxe de Hempel dans la même catégorie que le paradoxe sorite : celle qui comporte les paradoxes dont la conclusion se révèle inacceptable pour notre intuition, car elle vient en contradiction avec l’ensemble de notre réseau de croyances.

VALLIDOR. – Dans Hempel, il s’agit d’une contradiction qui se manifeste sous la forme d’une incohérence entre l’ensemble de nos croyances et la conclusion finale du paradoxe. Une telle conclusion n’est pas cohérente avec les faits et la connaissance du monde que nous avons.

ÉPHILODIE. – C’est cela. La conclusion selon laquelle la découverte d’un ours blanc confirme l’hypothèse que tous les corbeaux sont noirs, vient heurter l’ensemble cohérent constitué par nos connaissances. Une telle conclusion inacceptable ne peut s’y intégrer, et ainsi, d’emblée, nous la rejetons.

PHARAMMÉNION. – C’est un phénomène de même nature qui se produit dans le paradoxe sorite. La conclusion y est paradoxale, car elle vient se placer en contradiction avec l’ensemble de notre système de pensée et nos croyances les plus assurées. Dans ce cas, un raisonnement qui paraît sain et acceptable conduit à une conclusion intuitivement inacceptable.

ÉPHILODIE. – Il me vient à l’esprit que nous n’avons pas tout à fait décrit les différentes formes sous lesquelles se présentent les paradoxes. Car si je me réfère au paradoxe de la Belle, il conduit à deux raisonnements dont les conclusions sont contradictoires, exclusives l’une de l’autre. On y observe toujours la contradiction, mais cette dernière s’y présente sous une forme qui est différente de celles que nous venons d’évoquer.

VALLIDOR. – Dans la Belle, un premier raisonnement conclut à une probabilité de 1/2 pour face, alors qu’un second raisonnement conduit à une probabilité de 1/3. Et le problème est que chacun de ces deux raisonnements a ses défenseurs et ses détracteurs.

ÉPHILODIE. – Je dirais même qu’il nous arrive, lorsque nous nous plongeons dans le paradoxe de la Belle, de passer nous-mêmes d’un des raisonnements à l’autre. La fameuse oscillation…

VALLIDOR. – Je me suis replongé hier, après notre discussion, dans le problème de la Belle, et je me suis encore remis à osciller… Je ne compte pas les fois où je suis passé de la solution 1/2 à la solution 1/3, ces dernières semaines.

PHARAMMÉNION. – Nous avons comparé ce phénomène aux perceptions multistables qui résultent des images ambiguës. Mais je dirai que lorsqu’on parvient à ce type de phase, c’est plutôt bon signe. Cela montre que l’on a développé la souplesse d’esprit qui permet de se placer successivement d’un certain point de vue pertinent, puis d’un autre, pour appréhender une question donnée.

VALLIDOR. – Il y a ainsi des paliers dans l’étude des paradoxes.

PHARAMMÉNION. – Si on veut. Le fait que l’on oscille d’une solution à l’autre dans l’étude des paradoxes signifie qu’on a développé une capacité méta-cognitive importante. Car on est alors capable de considérer un point de vue donné, puis d’en envisager un autre qui est différent. Cette capacité à appréhender deux points de vue qui constituent les facettes complémentaires d’une même réalité, est un signe que l’on développe une meilleure objectivité, puisqu’on devient apte à appréhender les différents aspects d’une réalité donnée.

VALLIDOR. – Quels en sont donc les avantages ?

PHARAMMÉNION. – Eh bien, lorsqu’on imagine une solution pour un paradoxe, on est tout de suite capable de concevoir par soi-même une objection à cette solution. On est ainsi capable d’être son propre critique, son propre détracteur, de formuler des auto-objections.

ÉPHILODIE. – Cela permet de gagner un temps précieux. On a ainsi le défenseur et le détracteur en une même personne…

VALLIDOR. – « Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem ». On ne doit pas multiplier les entités sans nécessité…

ÉPHILODIE. – C’est là l’économie de moyens. Le rasoir d’Occam passe même par là…

200px-Decoline01.svg

 

 

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE NEWCOMB

ÉPHILODIE. – Ainsi, l’étude des paradoxes joue un rôle important dans la formation de la méta-cognition…

PHARAMMÉNION. – Indirectement, c’est là un des enseignements majeurs d’Eubulide, puisque c’est à lui que l’on doit les deux grands paradoxes actuels : le Menteur et le paradoxe sorite.

ÉPHILODIE. – Dans un sens, ce serait presque une déception si ces paradoxes venaient à être résolus. Cela en serait fini du développement de notre méta-cognition ! Que l’on résolve ces paradoxes, et notre méta-cognition va s’effondrer !

PHARAMMÉNION. – Voilà une analyse du Menteur originale. Je la retiens. Il faut laisser le paradoxe non résolu, de manière à ce que nous puissions exercer notre méta-cognition sur lui…

ÉPHILODIE. – D’un autre côté, pour exercer notre méta-cognition, il faut bien que nous tentions de résoudre le Menteur…, sans faire semblant.

PHARAMMÉNION. – Le Menteur n’a pas vraiment besoin qu’on lui fasse la charité ! Il résiste déjà depuis vingt-cinq siècles. Nous pouvons sans crainte mobiliser toutes nos forces mentales pour tenter de le résoudre.

ÉPHILODIE. – Oui, mais s’il venait à être résolu, nous serions bien dans l’embarras.

PHARAMMÉNION. – D’autres paradoxes viendraient probablement remplacer le Menteur et le paradoxe sorite s’ils venaient à être résolus. D’ailleurs, de nouveaux paradoxes apparaissent régulièrement, dans la philosophie moderne. La méta-cognition a encore de beaux jours devant elle… Notre raisonnement est imparfait. Et c’est cette imperfection même qui permet aux paradoxes de naître. Le fait que les paradoxes émergent n’est que l’expression des limitations de notre raisonnement, à une époque donnée. Ainsi, le renouvellement des paradoxes devrait être assuré. Il n’y a pas de danger pour la formation de notre méta-cognition.

ÉPHILODIE. – C’est donc une forme particulière de méta-cognition que développent les paradoxes. Il s’agit essentiellement de porter un regard critique sur son propre raisonnement.

VALLIDOR. – C’est une partie de la méta-cognition, car celle-ci est quand même définie de manière plus large : il s’agit de la pensée qui se rapporte à la pensée, de la cognition relative à la cognition.

PHARAMMÉNION. – La méta-cognition qui permet de développer l’étude des paradoxes est différente par exemple de la méta-cognition qui se développe chez l’enfant ou l’adolescent qui connaît une éducation multilingue. Nous pouvons raisonner sur le bilinguisme, qui est la forme la plus évidente de multilinguisme. On sait que ce type d’éducation présente l’avantage de développer chez l’enfant une aptitude méta-cognitive, qui naît de la comparaison régulière des deux langues vivantes qu’il pratique. Car l’enfant apprend ainsi à comparer la façon dont chaque langue classe les objets, définit des catégories, possède un ou plusieurs termes pour désigner un objet donné. Il devient peut-à-peu habile à discerner les équivalences de sens entre les mots, les expressions ou même les proverbes de l’une et l’autre langue. L’habitude d’utiliser ces codes méta-cognitifs, permettant de passer d’une langue à l’autre, est précieuse, car elle permettra plus tard d’acquérir plus aisément une troisième langue ou une quatrième par exemple.

VALLIDOR. – C’est un des grands avantages du multilinguisme. Mais je te rappelle que le développement chez l’homme de ce type de méta-cognition est en danger. Cela résulte en effet du fait que de nombreuses langues sont actuellement menacées de disparition.

PHARAMMÉNION. – Chaque année, des langues meurent désormais. Et le rythme s’accélère. Pour l’humanité, c’est une perte linguistique sans précédent. Mais il s’agit aussi d’une perte culturelle, puisque les cultures s’appuient directement sur les langues. Et c’est aussi une grande perte pour la diversité cognitive. Nous sommes à un tournant dans l’histoire de l’humanité où la diversité linguistique, culturelle et cognitive est très menacée. Et cela menace aussi indirectement la capacité humaine de méta-cognition.

eub-babelVALLIDOR. – Sur les 5700 langues environ que compte la planète, il est probable, si les choses continuent à leur rythme, que 90 pour cent auront disparu d’ici la fin du XXIème siècle.

eub-babel

ÉPHILODIE. – Il est encore temps de préserver une partie de ce précieux patrimoine humain. Mais il faut désormais agir vite, en permettant aux langues menacées de s’épanouir et de coexister avec les langues plus répandues.

PHARAMMÉNION. – Cette parenthèse était nécessaire. Mais revenons un instant à notre sujet d’aujourd’hui. Il s’agit du paradoxe de Newcomb, qui constitue un autre paradoxe philosophique important. Il est dû au physicien William Newcomb, qui l’a décrit en 1960. On peut le formuler de la manière suivante. Devant vous se trouvent deux boîtes. La première boîte est transparente et vous voyez qu’elle contient mille euros. La seconde boîte, en revanche, est opaque. Vous avez le choix de prendre soit le contenu de la seconde boîte, soit celui des deux boîtes. De plus, vous savez qu’un devin, dont les prédictions se sont révélées extrêmement fiables jusqu’à présent, placera un million d’euros dans la seconde boîte s’il prévoit que vous ne prendrez que cette dernière. En revanche, s’il prévoit que vous prendrez à la fois les deux boîtes, il laissera la seconde boîte entièrement vide. La question qui se pose est la suivante : prendrez-vous seulement le contenu de la seconde boîte, ou bien celui des deux boîtes ? Que décidez-vous ?

eub-newcombÉPHILODIE. – A priori, si les prédictions du devin se sont révélées extrêmement fiables, la prédiction qu’il s’apprête à effectuer cette fois devrait être vérifiée une fois de plus. J’aurai tendance à raisonner ici par induction : toutes les prédictions du devin se sont révélées exactes jusqu’à présent. Et par conséquent, la prédiction qu’il va maintenant réaliser, devrait également être exacte. Ainsi, si je décide de ne prendre que la seconde boîte, il y a de très grandes chances que le devin y place un million d’euros. Je choisis donc de ne prendre que la seconde boîte, et je m’apprête à encaisser un million d’euros.

PHARAMMÉNION. – C’est une position défendable en effet. Mais je vous pose maintenant la question : n’y a-t-il pas, selon vous, une autre façon de raisonner ?

VALLIDOR. – Peut-être pourrait-on raisonner différemment en effet. Car je ne vois pas pourquoi j’abandonnerais le contenu de la première boîte, qui contient, de manière certaine, mille euros. En effet, le devin a déjà effectué son choix au moment précis où je me prépare à ouvrir soit la seconde boîte, soit les deux boîtes. Soit donc il a placé un million d’euros dans la seconde boîte, soit il ne les a pas placés. En ouvrant également le contenu de la première boîte, je ne peux qu’ajouter mille euros à ce que je trouverai dans la seconde boîte. Je trouve absurde d’abandonner ces mille euros qui se trouvent dans la première boîte. En procédant ainsi, j’optimise mon gain, car je m’apprête ainsi à encaisser un million et mille euros.

ÉPHILODIE. – Pourtant, c’est un risque que ne ne prendrai pas. Car la somme de mille euros est trop faible pour justifier que l’on prenne le risque de perdre le million d’euros. Je me contenterai d’encaisser, de manière certaine, le million d’euros. N’oublions pas que les prédictions du devin se sont avérées extrêmement fiables. Il a un historique de prédictions tout à fait remarquable.

VALLIDOR. – Mais le raisonnement précédent retrouve tout son intérêt dès lors que l’on modifie très légèrement les données de l’énoncé.

ÉPHILODIE. – Dans les paradoxes, on peut modifier les énoncés ? C’est licite, ça ?

PHARAMMÉNION. – Eh bien, dès lors que l’on conserve le noyau du paradoxe, on peut effectivement en donner une autre version. Le paradoxe est en quelque sorte polymorphe. C’est une autre de ses propriétés étonnantes. Rien n’est figé.

VALLIDOR. – Pour ce qui concerne le paradoxe de Newcomb, il suffirait de dire que dans la première boîte se trouve un million d’euros et que nous pouvons les voir. Dans ce cas, on ne peut plus raisonner en considérant que cette somme est négligeable, et mon raisonnement précédent retrouve alors toute sa force. Et dans ce cas, la structure du paradoxe se trouve également conservée.

PHARAMMÉNION. – Ce qui est remarquable, dans le paradoxe de Newcomb, c’est que chacun des deux raisonnements que nous avons mentionnés semble tout à fait fondé. Pourtant, leurs conclusions sont bien contradictoires. C’est en cela que le problème posé par Newcomb constitue un paradoxe, car deux types de raisonnements qui semblent tout à fait corrects conduisent à des conclusions contradictoires. L’énigme posée par le paradoxe de Newcomb suggère plusieurs voies pour parvenir à sa solution : l’un des deux raisonnements concurrents est-il incorrect ? Dans ce cas, il s’agit de montrer où se trouve l’étape ou les étapes fallacieuses dans le raisonnement en question. Ou bien existe-t-il un autre moyen de dissoudre la contradiction qui se manifeste à cause de la présence simultanée des conclusions des deux raisonnements concurrents ?

ÉPHILODIE. – Le paradoxe de Newcomb appartient donc à la catégorie des paradoxes qui conduisent à deux solutions évidentes, mais contradictoires. En ce sens, c’est comme le paradoxe de la Belle.

PHARAMMÉNION. – Cette présence simultanée de deux solutions apparemment correctes constitue la signature de ce paradoxe.

VALLIDOR. – Il me vient à l’esprit que l’énoncé même du paradoxe de Newcomb comporte tout de même une bizarrerie. La situation correspondant au paradoxe n’est-elle pas impossible en réalité ? Car à mon sens, on ne peut la rencontrer en pratique. En effet, la partie de l’énoncé selon laquelle le devin peut prédire avec précision le choix qui sera effectué, ne me paraît pas vraisemblable. Il s’agit là de propriétés extravagantes qui ne sont pas celles de notre monde physique. Que je sache, la causalité rétrograde, c’est-à-dire le fait qu’un effet puisse modifier sa propre cause, n’est pas encore avéré. C’est un bon thème pour la science-fiction ou des expériences de pensée futuristes, mais de là à prendre cela pour une donnée réelle et conditionner nos choix…

ÉPHILODIE. – C’est juste. Mais le paradoxe de Newcomb est immunisé contre ce type d’objection.

VALLIDOR. – Là, je pressens une prochaine métamorphose du paradoxe…

ÉPHILODIE. – C’est bien ça. On pourrait en effet considérer une variation du paradoxe où l’on ne fait pas appel à cette capacité singulière de divination. Il suffirait de considérer une version probabiliste du paradoxe où la prédiction du devin est le plus souvent exacte. Car le devin pourrait bien se fonder, non pas de manière irrationnelle, sur des considérations d’ordre purement psychologique, mais sur des éléments plus concrets.

PHARAMMÉNION. – En effet, une étude menée sur le paradoxe de Newcomb a montré que soixante dix pour cent des gens choisissent de ne prendre que la seconde boîte.

ÉPHILODIE. – Le devin pourrait ainsi se baser sur des considérations d’ordre psychologique et des études de comportement pour effectuer ses prédictions. On pourrait supposer par exemple que le devin possède un programme d’ordinateur qui simule de manière très performante le comportement humain face à ce type de situation, et effectue ses prévisions en conséquence. De cette manière, on serait débarrassé de la causalité rétrograde et de ses conséquences ennuyeuses.

PHARAMMÉNION. – Et ceci aurait pour effet de replonger le paradoxe dans l’univers qui nous est familier. Le paradoxe de Newcomb traverse ainsi les mondes sans difficulté. Il peut évoluer dans un univers atypique dont les propriétés sont différentes du nôtre, mais finalement, il parvient aussi à se manifester dans notre univers familier.

ÉPHILODIE. – Oui, mais on pourrait rétorquer que la base rationnelle est ici contestable. Car il s’agit toujours de divination et le fondement sur lequel s’effectue ces prédictions apparait plutôt irrationnel.

VALLIDOR. – Dans ce cas, on a éliminé le caractère très irrationnel de la divination et nous nous sommes replacés dans un contexte que nous pouvons appeler « plutôt rationnel ». n’est-ce pas le type de contexte dans lequel nous évoluons tous les jours. Dans la vie courante, on n’a pas à faire à de parfaits logiciens…. Et d’ailleurs, nous mêmes sommes vulnérables à l’erreur de raisonnement. Même les meilleurs logiciens commettent parfois des erreurs lorsqu’ils appliquent la logique à la vie courante. Ils admettent d’ailleurs eux-mêmes leurs limites : le Menteur, le paradoxe sorite, etc.

200px-Decoline01.svg

 

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE L’EXAMEN-SURPRISE

PHARAMMÉNION. – Il nous reste encore à évoquer le cas du paradoxe de l’examen-surprise. C’est un autre grand paradoxe philosophique contemporain que nous ne pouvons passer sous silence.

ÉPHILODIE. – J’ai déjà eu l’occasion de rencontrer ce paradoxe. Mais je ne me lasse pas d’en entendre parler à nouveau.

VALLIDOR. – Moi aussi, j’ai déjà lu des choses sur lui.

ÉPHILODIE. – Est-ce qu’il a fait avancer ta méta-cognition ?

VALLIDOR. – Je confirme que c’est un paradoxe à oscillation !

ÉPHILODIE. – D’ailleurs y a-t-il des paradoxes qui ne sont pas à oscillation ? Par analogie avec les images ambiguës, on pourrait dire : y a-t-il des paradoxes qui ne sont pas à solution ambiguë ?

PHARAMMÉNION. – Je crains qu’il n’y en ait pas. Pour revenir au paradoxe de l’examen-surprise, celui-ci présente une caractéristique originale. Car il trouve son origine dans un fait réel. Cela montre qu’avec les paradoxes, nous ne sommes pas dans le domaine de la spéculation et des activités purement intellectuelles.

VALLIDOR. – Oui. Les paradoxes ont des répercussions très concrètes : il y a eu de belles disputes entre Éphilodie et moi, au début…

ÉPHILODIE. – Tout à fait. Je confirme. Cela n’avait rien d’abstrait !

PHARAMMÉNION. – Et maintenant, il n’y a plus de disputes ? Vous discutez pourtant encore des nouveaux paradoxes que nous étudions, non ?

VALLIDOR. – Oui, mais les disputes se font plus rares.

ÉPHILODIE. – C’est moins virulent en effet. Disons que nous nous contentons maintenant de formuler des objections.

VALLIDOR. – Et des contre-objections…

ÉPHILODIE. – Et des objections aux contre-objections…

PHARAMMÉNION. – Bref, vous faites de la vraie philosophie. C’est bizarre quand même ce changement, non ?

ÉPHILODIE. – La responsable, c’est… l’oscillation.

VALLIDOR. – « Les » oscillations, je ne les compte plus. Mais c’est plutôt positif, au fond.

ÉPHILODIE. – Ainsi, l’oscillation est une expérience intérieure qui vous transforme…

PHARAMMÉNION. – Bien. Revenons donc à l’exposé du paradoxe de l’examen-surprise et à son origine concrète. Durant la dernière guerre mondiale en effet, les autorités suédoises ont fait paraître une annonce selon laquelle un exercice de défense civile serait programmé la semaine suivante. Cette annonce précisait également qu’afin que l’exercice ait véritablement lieu par surprise, le jour précis où il aurait lieu ne serait pas révélé à l’avance. Cette annonce d’un exercice de défense civile attira tout d’abord l’attention du professeur Lennart Elkbom, qui identifia le subtil problème qui en résultait. Et il en fit part à ses étudiants. Par la suite, le paradoxe s’est diffusé largement dans les cercles universitaires, et a donné lieu à de nombreuses discussions. Ainsi, le paradoxe de l’examen-surprise, puisque c’est ainsi qu’il a été dénommé, présente cette caractéristique originale : il ne s’agit pas d’une expérience qui a été imaginée dans le cerveau d’un philosophe, mais bien d’un raisonnement paradoxal qui a pour support un authentique fait réel. J’en viens maintenant à la description du paradoxe proprement dit, mais j’imagine que vous avez déjà perçu quelque chose du paradoxe qui se dessine.

ÉPHILODIE. – Oui, cela tourne autour de la surprise, n’est-ce pas ?

PHARAMMÉNION. – Tout à fait. Supposons ainsi que l’annonce de l’exercice civil ait été faite le dimanche. Maintenant, les participants éventuels peuvent raisonner de la manière suivante. L’exercice civil ne peut pas avoir lieu le dernier jour de la semaine suivante, c’est-à-dire le dimanche, car sinon le dimanche matin, ils sauront que l’examen aura lieu, et ce ne sera donc pas une surprise. En conséquence, le dimanche peut être éliminé. Mais si tel est le cas, alors le samedi peut être également écarté, peuvent-ils continuer à raisonner. Et de même pour le vendredi, le jeudi, le mercredi, le mardi et finalement le lundi.

ÉPHILODIE. – De cette manière, ce sont tous les jours de la semaine qui sont finalement éliminés.

PHARAMMÉNION. – Et en définitive, les participants à l’exercice civil peuvent conclure que celui-ci n’aura pas lieu. Une telle conclusion apparaît finalement paradoxale.

ÉPHILODIE. – Mais en quoi s’agit-il d’un paradoxe ? Comment la contradiction se manifeste-t-elle ici ?

PHARAMMÉNION. – Il est utile de le préciser en effet. Eh bien, la contradiction apparaît de la manière suivante. Selon l’annonce de l’exercice civil, celui-ci doit se dérouler par surprise. Car l’exercice civil peut ainsi se dérouler, par exemple, le mercredi, et survenir par surprise. Et l’annonce des autorités civiles se trouve alors confirmée. Or le raisonnement que nous avons tenu nous apprend que l’exercice ne peut se dérouler par surprise. Il y a donc une contradiction entre l’annonce faite par les autorités et la conclusion du raisonnement qui en découle. Et cela nous permet en effet d’être plus précis sur la contradiction qui résulte du paradoxe. Car celle-ci se manifeste entre deux choses : d’une part, la conclusion de notre raisonnement en vertu duquel l’exercice ne peut survenir par surprise, et d’autre part, le fait que dans la réalité, l’exercice civil peut véritablement se dérouler par surprise.

VALLIDOR. – Mais la version classique du paradoxe est basée sur l’annonce d’un examen-surprise, plus que sur l’annonce d’un exercice civil.

PHARAMMÉNION. – Oui, la version standard du paradoxe est basée sur l’annonce d’un examen-surprise, qui est faite par un professeur à ses étudiants. Celui-ci annonce à ses étudiants qu’un examen se déroulera la semaine prochaine. Mais, ajoute-t-il, il ne sera pas possible de connaître à l’avance la date de l’examen, car celui-ci aura lieu par surprise. Les étudiants raisonnent ensuite de la façon suivante : l’examen ne peut se dérouler le vendredi, qui est le dernier jour de la semaine. En effet, ils sauraient sinon, avec certitude, que l’examen aurait lieu ce même jour. Ainsi, le vendredi se trouve-t-il éliminé. De la même manière, continuent de raisonner les étudiants, l’examen ne peut se dérouler le jeudi. Et il en va de même pour le mercredi, le mardi et finalement le lundi. Par le même raisonnement, les étudiants concluent ainsi que l’examen ne peut avoir lieu aucun jour de la semaine. Mais finalement, cela n’empêche pas l’examen de survenir par surprise, par exemple le mardi.

eub-sepÉPHILODIE. – Cette version présente une structure tout à fait similaire à celle qui a trait à un exercice de défense civile. À mon sens, on peut utiliser n’importe quel événement, que ce soit l’annonce d’un exercice civil, d’un examen, d’un mariage, du tir d’un coup de canon.

VALLIDOR. – Ou de l’annonce par Éphilodie de la découverte de la solution définitive du paradoxe du Menteur….

ÉPHILODIE. – Ce pourrait être encore l’annonce par Vallidor de la découverte d’une contre-objection radicale à mon objection à sa solution du paradoxe sorite…

VALLIDOR. – Ou même le déclenchement de l’oscillation d’un paradoxe…

ÉPHILODIE. – Je dirais que ce n’est pas le paradoxe qui oscille. Pour être plus précise : il s’agirait du déclenchement d’une oscillation dans le raisonnement de celui qui étudie la solution d’un paradoxe.

PHARAMMÉNION. – Je vois que cette notion d’oscillation – un pur concept méta-cognitif – connaît une certaine popularité. Donc, pour revenir aux variations possibles dans l’annonce du paradoxe, je dirais que cette démarche nous éclaire sur la structure proprement dite du paradoxe.

ÉPHILODIE. – Nous pouvons retenir l’annonce d’un événement donné, et le fait que cet événement se déroulera par surprise.

PHARAMMÉNION. – C’est là la structure même du paradoxe et l’événement importe peu, à vrai dire. W. V. O. Quine utilisait l’annonce d’une pendaison… Et il fut l’un des premiers a proposer une solution originale pour le paradoxe. Sans entrer dans les détails de la solution de Quine, je vais vous en livrer quand même les grandes lignes. Pour Quine, deux possibilités se présentent si l’examen a lieu le dernier jour, c’est-à-dire le vendredi : soit l’étudiant sait que l’examen aura lieu le vendredi, soit il ne sait pas qu’il se déroulera le vendredi. Or, raisonne Quine, l’étudiant considère que l’examen ne peut avoir lieu le dernier jour, car sinon il saurait qu’il aurait lieu ce même dernier jour. Et l’étudiant élimine ainsi le dernier jour, et ainsi de suite pour tous les autres jours de la semaine. Et c’est cette dernière conclusion qui amène ensuite l’étudiant à conclure que l’examen n’aura pas lieu. Dans ces circonstances, l’examen peut survenir même le dernier jour de la semaine, en confirmant ainsi l’annonce faite par le professeur. Finalement, raisonne Quine, l’étudiant se trouve dans une situation où le dernier jour, l’examen a lieu et l’étudiant ne sait pas qu’il se déroulera ce même dernier jour. Or, poursuit Quine, à aucun moment dans son raisonnement, l’étudiant n’avait envisagé une telle possibilité. Car il avait basé tout son raisonnement sur le fait qu’il saurait que l’examen n’aurait pas lieu le dernier jour. Ainsi, conclut Quine, l’étudiant n’avait pas pris en compte toutes les hypothèses pertinentes relatives à cette situation, et son raisonnement s’en trouve invalidé.

VALLIDOR. – Cette solution de Quine me paraît tout à fait résoudre le paradoxe. Le fait de n’avoir pas pris en compte dès le départ l’une des hypothèses pertinentes conduit à un raisonnement fallacieux.

ÉPHILODIE. – Pourtant cette solution me paraît basée sur le fait que l’étudiant peut douter, à un moment donné, que l’examen puisse avoir lieu. D’ailleurs, d’autres versions du paradoxe de l’examen-surprise, que j’ai pu lire dans la littérature, ne présentent pas cette caractéristique. Car il s’agit précisément de variations du paradoxe où un tel doute n’est pas permis. Supposons un instant que le fait que l’examen se déroule soit une certitude absolue. Dans ce cas, la solution de Quine ne peut plus s’appliquer.

VALLIDOR. – Je ne vois pas quel type de version annihilerait ce doute.

ÉPHILODIE. – Si, si. Et voilà le retour de la métamorphose. Supposons que nous ayons sept cartes, numérotées de un à sept, de la couleur trèfle. Avant de commencer, les sept cartes sont retournées, et nous pouvons vérifier que la carte portant le numéro un, c’est-à-dire l’as, s’y trouve bien. Ensuite, les cartes sont retournées et on nous annonce que nous ne pourrons pas prévoir à l’avance quand l’as de trèfle sortira. Supposons que six cartes aient été retournées, sans que l’as de trèfle ne soit apparu, et que l’on s’apprête à retourner la septième carte. Dans ce cas, nous sommes certains que celle-ci sera l’as de trèfle. Le doute n’est plus permis. Et dans ce cas, on ne peut plus raisonner, à mon sens, à la façon de Quine. Et ceci a pour effet de bloquer la solution de Quine. Et voilà, le paradoxe, en se métamorphosant, a dissout la solution…

PHARAMMÉNION. – Nous avons eu l’occasion de constater à quel point les paradoxes sont souvent polymorphes. On peut ainsi en imaginer plusieurs variations. Certaines variantes sont vulnérables à un certain type de solution, mais le paradoxe renaît dès que l’on considère une variation légèrement différente. Tel un phénix, le paradoxe que l’on croyait disparu, réapparaît alors.

ÉPHILODIE. – Il y a donc des variations plus ou moins résistantes, pour chaque paradoxe.

VALLIDOR. – Et celle qui est la plus résistante constitue le noyau. En ce sens, la notion de surprise me paraît être placée au coeur même du paradoxe de l’examen-surprise.

ÉPHILODIE. – Soumettez un paradoxe à un bombardement d’objections, imaginez à chaque fois une variation du paradoxe qui répond à ces objections, et vous aurez le noyau !

VALLIDOR. – En fait, ton objection ne me convainc pas, Éphilodie, car, on n’a pas de certitude absolue. Il peut toujours y avoir un doute résiduel, même très léger. Et il suffit pour que la solution de Quine s’applique. Même un degré de doute infinitésimal suffit pour que la solution de Quine s’applique.

ÉPHILODIE. – D’accord, mais on n’est plus dans ce cas dans le doute rationnel. Six cartes ont été tirées, et il reste une seule carte à retourner : ce ne peut être que l’as de trèfle ! Non, il n’y a pas de doute ici. Pour ma part, je défendrai une autre solution, car celle de Quine échoue. Celle que je défends est celle qui assimile le paradoxe de l’examen-surprise au paradoxe sorite. On a ici une notion vague de surprise. En un sens, un tel concept vague de surprise est de même nature que les concepts vagues tels que « grand », « chauve », « jeune », etc. Et on a une réduction du paradoxe de l’examen-surprise au paradoxe sorite. Car la surprise est minimale le dernier jour, alors qu’elle est maximale par exemple le premier jour. Et quelque part dans les autres jours de la semaine, on a un cas-limite. Pour moi, le paradoxe de l’examen-surprise est une instance du paradoxe sorite.

VALLIDOR. – Je ne suis pas d’accord. La notion de surprise ne peut être considérée comme vague. Et je vais le prouver. Car on peut construire une variation de la solution de Quine qui s’applique à une période qui ne comporte qu’un seul jour. Dans la version originale du paradoxe, on considère une période d’une semaine. Mais on peut aussi bien prendre en compte toute autre période. Et ce que nous enseigne de manière surprenante la solution de Quine, c’est qu’il existe une version du paradoxe qui vaut pour un seul jour.

PHARAMMÉNION. – Quelle est alors l’annonce correspondante ?

VALLIDOR. – Eh bien, dans ce cas, l’annonce du professeur est la suivante : « Un examen se déroulera demain, mais vous ne pourrez pas le savoir à l’avance ».

ÉPHILODIE. – Étonnante version !

PHARAMMÉNION. – Pourtant, dans ce cas, on a bien encore une variation du paradoxe. Car l’étudiant raisonne et conclut que l’examen ne peut avoir lieu demain, puisque cela ne pourrait pas être par surprise. Ainsi, l’étudiant est convaincu que l’examen n’aura pas lieu le lendemain. Mais précisément, l’examen survient, à sa grande surprise. Ainsi, on a toujours le paradoxe, mais sans le recours à une notion de surprise qui présente la structure de notions vagues telles que « grand », « chauve », etc. Avec une telle variation à un seul jour, je vous le demande, où est la notion vague de surprise ?

PHARAMMÉNION. – Nous avons bien avancé l’étude du paradoxe de l’examen-surprise. Ce que je vous demande, c’est d’y réfléchir encore, car il recèle encore des choses importantes à nous apprendre. Aussi, pensez-y encore et nous aurons l’occasion d’y revenir.

200px-Decoline01.svg

 

 

NOUVEAU DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE L’EXAMEN-SURPRISE

PHARAMMÉNION. – Je pense que vous avez eu tout le loisir d’affuter vos arguments concernant le paradoxe de l’examen-surprise. Car nous allons réfléchir à nouveau sur ce sujet. Avez-vous remarqué comme la solution préconisée par Quine présente une particularité étonnante, que tu n’avais pas manqué de souligner, Vallidor. Cette particularité, c’est le fait que la solution de Quine vaut pour une variation du paradoxe qui s’applique à une période d’un seul jour. La variation correspondante de l’annonce du professeur est la suivante, je vous le rappelle : « Un examen se déroulera demain, mais vous ne pourrez pas le savoir à l’avance ». À ce propos, comment qualifieriez-vous la notion de surprise qui est sous-jacente ici ?

VALLIDOR. – La surprise nait ici du fait que l’étudiant oublie d’envisager l’hypothèse où l’examen aura lieu et où l’étudiant ne sait pas qu’il se déroulera ce même dernier jour. C’est cela-même qui permet à la surprise de se manifester.

PHARAMMÉNION. – D’accord, mais il s’agit de surprise qui se manifeste sur une période d’un jour. Comment peut-on la qualifier, en comparaison avec le type de surprise auquel se référait Éphilodie, lorsqu’elle plaidait pour une réduction du paradoxe de l’examen-surprise au sorite.

VALLIDOR. – Oui, elle songeait à une notion vague de surprise.

ÉPHILODIE. – En effet, on peut associer la notion de surprise qui est celle de Quine à une notion discrète et celle qui se réduit au sorite, à une notion vague.

VALLIDOR. – On a ainsi une notion discrète et une notion vague de surprise.

PHARAMMÉNION. – Nous avions évoqué, lors de notre séance consacrée au paradoxe de la Belle au bois dormant, les images ambiguës…

ÉPHILODIE. – Ah, je vois. La notion discrète de surprise, c’est le canard. Et la notion vague, c’est le lapin.

VALLIDOR. – Ou l’inverse.

PHARAMMÉNION. – Effectivement, n’a-t-on pas un phénomène analogue aux images ambiguës ici, avec deux notions distinctes de surprise qui coexistent dans le paradoxe de l’examen-surprise : une discrète, et l’autre vague ?

ÉPHILODIE. – Et qui explique l’oscillation…

VALLIDOR. – Tu ne voyais pas le lapin, Éphilodie !

ÉPHILODIE. – Et toi, le canard !

PHARAMMÉNION. – Eh bien maintenant, puisque vous m’avez l’air prêts à accepter l’idée qu’il existe une certaine symétrie dans cette situation, je vais vous demander d’inverser les rôles. Toi, Vallidor, tu vas défendre le canard. Et toi, Éphilodie, tu vas défendre le lapin.

VALLIDOR. – Donc je deviens subitement un partisan acharné de la solution basée sur une notion de surprise vague.

ÉPHILODIE. – Et moi, je dois défendre farouchement la solution basée sur une notion de surprise discrète.

VALLIDOR. – C’est licite, ce changement de rôles ?

PHARAMMÉNION. – N’avez-vous pas admis l’ambiguïté de la notion de surprise et la symétrie de la situation qui en résultait ? Alors, allons-y !

ÉPHILODIE. – C’est donc la solution basée sur une notion discrète de surprise qui me parait s’imposer pour résoudre le paradoxe…

VALLIDOR. – Et c’est tout ?

ÉPHILODIE. – Non, non. Ainsi, la solution de Quine, basée sur une notion discrète de surprise, permet de résoudre le paradoxe. Le fait que la notion de surprise soit discrète est attesté ici par le fait qu’il en résulte une variation de l’annonce du professeur qui vaut pour un seul jour. Et là, toute notion vague de surprise est écartée.

PHARAMMÉNION. – Vallidor, tu n’as pas d’objection ?

VALLIDOR. – On ne saurait considérer que la solution de Quine résout le paradoxe, car il existe d’autres variations de celui-ci. Et pour celles-là, la solution de Quine est inopérante.

ÉPHILODIE. – Quelles variations ?

VALLIDOR. – Il existe notamment une variation où on considère une notion vague, où la surprise s’assimile à des notions telles que « grand », « chauve », etc.

ÉPHILODIE. – Oui, mais je peux très bien avoir une notion vague qui conduise au paradoxe de l’examen-surprise, mais qui ne donne pas lieu au sorite.

VALLIDOR. – Par exemple ?

ÉPHILODIE. – Si on considère une période d’une semaine, c’est trop court pour donner lieu au sorite. Il faut cent mille grains de sable, dix mille cheveux, etc… pour faire un sorite. Sept jours est un nombre insuffisant pour faire un sorite.

VALLIDOR. – Mais je peux abandonner la réduction au sorite et conserver la notion vague de surprise. Ce que je défends, c’est l’idée qu’il existe une notion vague de surprise. Il suffit d’un cas de surprise, d’un cas de non-surprise et d’un cas-limite, pour faire une notion vague de surprise. Il n’y a pas besoin alors de cent mille grains de sable, ou de dix mille cheveux, car les sept jours d’une semaine suffisent alors.

ÉPHILODIE. – Tu abandonnes donc la réduction au paradoxe sorite.

VALLIDOR. – Oui, je suis prêt à l’abandonner. Je me contente ici d’une notion vague de surprise.

ÉPHILODIE. – Oui, mais le problème, c’est que ta notion de surprise est théorique. Elle n’a pas d’application concrète. Rappelons que l’origine du paradoxe de l’examen-surprise était un fait réel.

VALLIDOR. – Mais si. Il y également une variation du paradoxe qui correspond à ce type de surprise vague. Suppose que tu doives recevoir un coup de téléphone dans la journée, avant vingt heures, mais que tu ne saches pas à quelle seconde précise ce coup de téléphone va survenir. Dans ce cas, tu as bien un cas de non-surprise, à vingt heures précises. Et tu as également un cas de non-surprise, par exemple à la millième seconde de la journée. Et enfin, tu as un cas-limite, par exemple vingt secondes avant vingt heures. Dans ce cas, il s’agit bien une notion vague de surprise. Et là, la solution de Quine ne peut donc plus s’appliquer. J’ajouterais que c’est la défaite du canard !

PHARAMMÉNION. – Et qui gagne finalement, le canard ou le lapin ?

ÉPHILODIE. – C’est plutôt un match nul, il me semble.

DIALOGUE FINAL

PHARAMMÉNION. – Je voudrais souligner tout l’intérêt qu’il y a, lorsqu’on étudie les paradoxes, à développer ce que nous sommes convenus d’appeler, lors de nos discussions, la méta-cognition. Cela pourrait être cela, l’enseignement ultime d’Eubulide : étudier les paradoxes afin de développer des aptitudes pour la méta-cognition.

ÉPHILODIE. – Il s’agit quand même d’une forme particulière de méta-cognition.

PHARAMMÉNION. – En effet, il s’agit ici plus précisément de la faculté de développer une démarche critique par rapport à son propre raisonnement, et la capacité à élaborer soi-même des objections à ses propres raisonnements, appliqués à problèmes philosophiques.

ÉPHILODIE. – Une forme d’auto-critique.

PHARAMMÉNION. – Ainsi, lorsque nous sommes parvenus à développer cette forme de méta-cognition, nous avons achevé le cycle d’enseignement d’Eubulide.

ÉPHILODIE. – De ce point de vue, nous sommes tous des enfants d’Eubulide.

VALLIDOR. – On commence le cours sans méta-cognition, et on finit en ayant développé cette méta-cognition.

ÉPHILODIE. – N’y a-t-il pas des connexions nouvelles qui s’élaborent dans le cerveau, au fur et à mesure que cette aptitude à la méta-cognition se développe ?

PHARAMMÉNION. – Entre l’état où cette méta-cognition est absente, et celui où elle a été développée, il se pourrait que des modifications interviennent aux niveaux de certaines structures cérébrales. C’est une hypothèse intéressante. Peut-être une étude expérimentale pourrait-elle le confirmer ?

VALLIDOR. – Ainsi, l’étude des paradoxes, c’est finalement l’École d’Eubulide.

ÉPHILODIE. – En définitive, l’étude des paradoxes – ou l’École d’Eubulide – s’assimile à une série d’exercices cognitifs. On développe sa capacité à formuler des objections, à en recevoir, à en imaginer, à créer ses propres contre-objections.

PHARAMMÉNION. – Il y a plusieurs étapes dans ce processus. D’abord, on s’exerce à trouver des solutions aux paradoxes, c’est-à-dire à trouver des objections à tel ou tel raisonnement paradoxal. Puis on s’essaie à contredire les solutions préconisées par d’autres, c’est-à-dire à réfuter des objections. Puis enfin, on s’entraîne à réfuter soi-même ses propres objections. Lorsqu’on a acquis une certaine pratique dans cet exercice, la capacité méta-cognitive est acquise.

ÉPHILODIE. – Après de nombreuses oscillations…

VALLIDOR. – Mais n’est-ce pas une sorte de thérapie, cette École d’Eubulide ?

PHARAMMÉNION. – Si chez nous, la capacité d’auto-critique, de méta-cognition est innée, alors les solutions et les contre-solutions nous viennent naturellement à l’esprit. Dans ce cas, nous n’avons pas besoin de l’École d’Eubulide. Mais la nature humaine est ainsi constituée, d’après ce que j’ai pu en observer, que cette capacité méta-cognitive est rarement innée. Le plus souvent, chacun de nous est fermement convaincu que son propre raisonnement est le meilleur qui soit. Ainsi, si nous sommes constitués comme la plupart des humains, le fait de fréquenter quelque temps l’École d’Eubulide ne peut être que salutaire. Si au départ, nous sommes persuadés que notre point de vue est le seul valable et que nous avons du mal à envisager que nous pouvons nous tromper, ou même que d’autres peuvent penser différemment, alors pour nous l’École d’Eubulide peut effectivement être comparé à une thérapie. Mais le terme de thérapie s’applique ordinairement lorsque des erreurs de raisonnement entraînent un état qui présente une nature pathologique. Or ici, ce n’est pas le cas, et l’École d’Eubulide n’est donc pas une thérapie, mais bien une manière de perfectionner un raisonnement qui présente un défaut extrêmement commun, et d’acquérir ainsi davantage d’ouverture d’esprit, une meilleure aptitude à gérer ou à construire des objections et des contre-objections, afin de parvenir ainsi à une meilleure objectivité.

ÉPHILODIE. – Je suis d’accord. On ne peut pas parler véritablement de thérapie, car le raisonnement qui conduit au paradoxe n’est pas pathologique. Il n’occasionne pas de souffrance et ne perturbe pas la vie quotidienne de ceux qui étudient les paradoxes philosophiques. Parvenir à une conclusion paradoxale n’est que le résultat d’un raisonnement normal.

PHARAMMÉNION. – C’est ici qu’on s’aperçoit que le fait que l’étude des paradoxes repose sur des problèmes difficiles présente tout son intérêt. En effet, si les problèmes étaient facilement solubles, leur étude perdrait rapidement beaucoup de leur intérêt, car elle ne permettrait pas en tout cas de développer les aptitudes méta-cognitives que nous avons décrites.

VALLIDOR. – Il y a décidément quelque chose de diabolique dans ces paradoxes. On commence par essayer de les résoudre. On croit avoir résolu certains d’entre eux. Puis on finit par déchanter.

ÉPHILODIE. – Plus ou moins rapidement, selon les individus…

VALLIDOR. – Et finalement, ce qu’on apprend des paradoxes n’est pas une solution, mais une leçon de raisonnement. On est plutôt pris à contre-pied.

ÉPHILODIE. – Je dirais même que c’est encore plus subtil que ça. On s’efforce de résoudre les paradoxes. On met toute son énergie pour leur trouver une solution. Et puis finalement, on conclut qu’il vaut mieux qu’ils restent très difficiles et demeurent sans solution, car ils permettent ainsi de développer notre capacité d’auto-critique et notre méta-cognition.

VALLIDOR. – Oui. Il y a dans ces paradoxes une leçon originale. Finalement, la frustration qu’ils engendrent, c’est-à-dire le fait que l’on ne parvienne pas à les résoudre, s’efface complètement derrière tout l’intérêt qu’il y a à échouer à leur trouver une solution.

ÉPHILODIE. – Ainsi, nous terminons dans la joie de ne pas les avoir résolus.

VALLIDOR. – Heureux d’avoir échoué…

ÉPHILODIE. – Mais j’aurais quand même une dernière question. Où sont les effets sur la vie quotidienne que nous avions évoqués au début ? Là, j’ai du mal à les apercevoir.

PHARAMMÉNION. – Tu ne devrais pas tarder à t’en rendre compte. Car la faculté d’auto-critique appliquée à ton propre raisonnement, que tu as désormais développée, devrait se manifester prochainement. Tu l’as entraînée sur les raisonnements philosophiques paradoxaux et leurs possibles solutions. Mais rien n’empêche qu’elle se manifeste par rapport à d’autres raisonnements, appliqués cette fois aux faits et aux événements de la vie quotidienne, mais qui ne concernent plus cette fois les paradoxes philosophiques. Et il y a tant et tant d’occasions de raisonner dans la vie de chaque jour.

200px-Decoline01.svg

 

 

POUR ALLER PLUS LOIN AVEC LES PARADOXES

SUR LES PARADOXES EN GÉNÉRAL

Engel, Pascal (1997) La dispute, une introduction à la philosophie analytique, Paris, Minuit

Franceschi, Paul (2009) Introduction à la philosophie analytique, Éd. 2.1 Creative Commons

Poundstone, William (1990) Les labyrinthes de la raison, Paris, Belfond

Sainsbury, Mark (1995) (2ème éd.) Paradoxes, Cambridge: Cambridge University Press

Sorensen, Roy (2003) A Brief History of the Paradox, New York: Oxford University Press

SUR LE PARADOXE DU MENTEUR

Barwise, Jon. & Etchemendy, John (1987) The Liar: An Essay in Truth and Circularity, Oxford University Press

SUR LE PARADOXE SORITE

Smith, J. W. (1984) The surprise examination on the paradox of the heap, Philosophical Papers, 13, pages 43-56

Sorensen, R. A. (1988) Blindspots, Oxford: Clarendon Press

Williamson, T. (1994) Vagueness. London: Routledge

SUR LE PARADOXE DE GOODMAN

Franceschi, Paul (2001) « Une solution pour le paradoxe de Goodman », un article de l’auteur qui décrit une solution pour le paradoxe de Goodman, publié dans Dialogue, volume 40, pages 99-123

Goodman, Nelson (1946) « A Query On Confirmation », Journal of Philosophy, volume 43, pages 383-385, dans Problems and Projects, Indianapolis, Bobbs-Merrill, 1972, pages 363-366

Goodman, Nelson (1984) Fact, Fiction and Forecast (1954), Cambridge, MA: Harvard University Press,traduction Abran M. (1984) Faits, fictions et prédictions, Paris: Editions de Minuit

Goodman, Nelson (1978) Ways of Worldmaking. Indianapolis: Hackett Publishing Company, traduction M-D Popelard (1992), Manières de faire des mondes, Paris, J. Chambon

Hacking, Ian (1993) Le plus pur nominalisme, Combas, L’éclat

SUR LE PARADOXE DE LA COURSE

Salmon, W. C. (éd.) (1970) Zeno’s Paradoxes, Indianapolis et New York: Bobbs-Merrill

SUR LE PARADOXE DE HEMPEL

Franceschi, Paul (1999) « Comment l’urne de Carter et Leslie se déverse dans celle de Hempel », Canadian Journal of Philosophy, volume 29, pages 139-56

Hempel, Carl (1945) Studies in the logic of confirmation, Mind, 54, pages 1-26 et 97-121

SUR LE PARADOXE DE NEWCOMB

Lewis, D. (1979) Prisoner’s Dilemma Is a Newcomb Problem, Philosophy and Public Affairs, 8, pages 235-240

Nozick, R. (1969) Newcomb’s problem and two principles of choice, dans N. Rescher, éd., Essays in Honor of Carl G. Hempel, Dordrecht: Reidel, pages 114-146

SUR LE PARADOXE DE LA BELLE AU BOIS DORMANT

Delahaye, Jean-Paul, (2003) La Belle au bois dormant, la fin du monde et les extraterrestres, Pour la Science, 309, pages 98-103

Elga, Adam (2000) Self-locating Belief and the Sleeping Beauty Problem, Analysis, 60-2, pages 143-147

Lewis, David (2001) Sleeping Beauty: Reply to Elga, Analysis, 61-3, pages 171-176

SUR LE PARADOXE DE L’EXAMEN-SURPRISE

Franceschi, Paul (2005) Une analyse dichotomique du paradoxe de l’examen-surprise, Philosophiques, volume 32-2

Sorensen, R. A. (1988) Blindspots, Oxford: Clarendon Press

Williamson, T. 2000, Knowledge and its Limits, London & New York : Routledge.

SUR L’EFFET DE FILTRE

Bostrom, Nick (2002) Anthropic Bias: Observation Selection Effects in Science and Philosophy, New York, Routledge

Leslie, John (1996) The End of the World: the science and ethics of human extinction, Londres, Routledge

SUR LES LANGUES MENACÉES

Hagège, Claude, Halte à la mort des langues, Odile Jacob, 2001

Maffi, Luisa. 2002, Langues menacées, savoirs en péril, Revue internationale des sciences sociales, volume 173, pages 425-433

SUR EUBULIDE ET L’ÉCOLE DE MÉGARE

Mallet, M. C. (1845) Histoire de l’École de Mégare et des Ecoles D’Élis et D’Érétrie, Paris

Seuren, Pieter (2007) Eubulides as a 20th-century semanticist, Language Sciences, 27, pages 75-95

Wheeler, Samuel C. (1983) Megarian Paradoxes as Eleatic Arguments, American Philosophical Quarterly, Volume 20-3, pages 287-295

Le site Internet de l’auteur :

http://www.paulfranceschi.com

200px-Decoline01.svg

 

 

POSTFACE

L’objet de ce livre est triple : il s’agit d’une part, de contribuer à la réhabilitation d’Eubulide ; en second lieu, de souligner tout l’intérêt de l’étude des paradoxes au sein d’un enseignement de philosophie ; et enfin, de promouvoir le développement d’une forme spécifique de méta-cognition, associée à l’étude des paradoxes philosophiques.

En premier lieu, j’ai voulu m’attacher ainsi à réhabiliter Eubulide. Car celui-ci est très souvent considéré par les historiens de la philosophie comme un « sophiste », une étiquette à laquelle s’attache une connotation négative, associée à l’idée de débats inutiles et de querelles futiles. Nicolas Joseph Laforet, par exemple, dans son « Histoire de la philosophie » (page 361) qualifie les paradoxes étudiés par Eubulide de « Subtilités puériles par lesquelles des esprits curieux et légers s’escrimaient à déconcerter le bon sens et la raison ! » Dans le même esprit, le Dictionnaire des sciences philosophiques (1845, Paris), dans son article consacré à Eubulide (signé D.H.) rapporte: « Sa vie entière n’a été qu’une lutte contre Aristote, lutte à peu près stérile, dans laquelle une logique captieuse essayait de prévaloir contre le bon sens ». Et ensuite : « … ce second successeur d’Euclide n’est déjà plus pour les anciens eux-mêmes qu’un disputeur infatigable, qu’un sophiste de profession ». Enfin, le Dictionnaire encyclopédique de Diderot (1818), dans son article sur Eubulide, va encore plus loin dans le blâme : « Il se distingua par l’invention de différents sophismes dont les noms nous sont parvenus. Tels sont le menteur, le caché, l’électre, le voilé, le sorite, le cornu, le chauve. Nous en donnerions des exemples s’ils en valaient la peine. Je ne sais qui je méprise le plus, ou du philosophe qui perdit son temps à imaginer ces inepties, ou de ce Philetas de Cos, qui se fatigua tellement à les résoudre qu’il en mourut ». Or ces appréciations très dépréciatives, ce qualificatif de sophiste, appliqués à Eubulide, apparaissent particulièrement injustes et inappropriés, si l’on considère avec attention la démarche philosophique qui fut celle d’Eubulide. En premier lieu, le fait de qualifier les paradoxes attribués à Eubulide comme relevant de discussions futiles, apparaît tout à fait aux antipodes de la réalité. Car Eubulide est considéré aujourd’hui comme le découvreur de deux paradoxes philosophiques majeurs : le Menteur et le paradoxe sorite. On se base pour cela sur le témoignage de Diogène Laërce, dans son ouvrage « Vies et doctrines des philosophes illustres ». Or à l’époque moderne, ces deux paradoxes ne sont toujours pas résolus, et ils continuent d’engendrer une énorme littérature. De plus, la portée philosophique de ces deux paradoxes est immense, car elle recouvre des notions philosophiques aussi diverses que l’auto-référence, la circularité, les notions vagues, la théorie de la vérité, la logique bivalente, les logiques multi-valuées, la logique floue, etc. Ainsi, le Menteur comme le paradoxe sorite se trouvent toujours, quelque deux mille quatre cent ans après leur création, à l’origine de discussions philosophiques qui éclairent d’un jour nouveau nombre de sujets philosophiques d’importance fondamentale. Aussi, si le fait rapporté par Diogène Laërce est exact, Eubulide doit-il être crédité de l’invention de deux énigmes philosophiques majeures, elles-mêmes à l’origine de débats considérables et d’avancées significatives dans de nombreux domaines philosophiques. Une telle situation, dans l’histoire de la philosophie présente un caractère tout à fait exceptionnel. Et le fait d’affubler Eubulide d’un qualificatif dépréciatif apparait alors comme une injustice majeure. Cette injustice qui est faite à Eubulide est très grande, car le blâme majeur qui est le plus souvent associé à Eubulide devrait être, si l’on en juge par les faits qui nous sont rapportés, requalifié en éloge majeur.

On peut observer au passage que certains historiens de la philosophie mentionnent les énigmes créées par Eubulide comme des problèmes très faciles et qui possèdent une solution évidente. Ainsi, selon le Dictionnaire des sciences philosophiques précité, « Rien n’est plus facile que de trouver la clef de pareils sophismes » (p. 330). Les lecteurs de ce livre reconnaîtront là l’expression d’un type d’opinion désormais familier, que l’on rencontre fréquemment lors de l’étude des paradoxes philosophiques.

Mais l’injustice faite à Eubulide ne concerne pas seulement les paradoxes philosophiques majeurs que sont le Menteur et le paradoxe sorite. En effet, comme l’a montré Pieter Seuren dans un article publié en 2005, même l’Électre et le Cornu, deux autres énigmes philosophiques héritées d’Eubulide, présentent également un grand intérêt contemporain. Car l’analyse moderne montre que le Caché (il en va de même pour le Voilé et l’Électre, qui sont des variations du même problème) constitue également un important problème philosophique, qui a été redécouvert et rendu célèbre par Gottlob Frege en 1892 : le problème relatif aux propositions d’identité, également connu sous le nom du problème de l’étoile du matin et de l’étoile du soir. Et de même, le Cornu constitue l’ancêtre d’un autre problème très discuté à l’époque moderne : le problème de la présupposition. Ainsi, considérant l’essentiel de l’apport d’Eubulide, constitué par le Menteur et le paradoxe sorite, ainsi que l’Electre et le Cornu, Seuren conclut que Eubulide n’a rien fait moins que préfigurer l’essentiel des débats sémantiques essentiels qui seront ceux du XXème siècle.

En second lieu, j’ai voulu attirer l’attention du lecteur sur tout l’intérêt pédagogique qui s’attache à l’étude des paradoxes dans le cadre d’un enseignement de philosophie. Le présent ouvrage s’attache ainsi à montrer comment une telle étude peut s’avérer passionnante pour les élèves et d’un grand intérêt pédagogique. Aussi, cet ouvrage constitue également un plaidoyer pour l’intégration de l’étude des paradoxes dans les programmes d’enseignement de la philosophie. D’un certain point de vue, le fait d’introduire l’étude de problèmes précis au sein d’un enseignement de philosophie correspond à un souci de rééquilibrage entre d’une part l’étude des doctrines philosophiques, et d’autre part, celle des problèmes philosophiques. Il s’agit ainsi de montrer comment la philosophie est également capable de s’intéresser à des problèmes concrets, précis et bien définis. L’approche par problèmes, par nature concrète, qui est inhérente à l’étude des paradoxes, se révèle ainsi complémentaire de l’étude des doctrines philosophiques elles-mêmes – par nature plus abstraite.

Enfin, je me suis attaché à montrer toute l’importance de l’étude des paradoxes philosophiques, sur un plan cognitif. Car une telle étude permet de développer une forme particulière de méta-cognition. Cette dernière peut être définie comme une cognition appliquée à sa propre cognition. Dans une première étape, l’enseignement des problèmes particuliers de philosophie que constituent les paradoxes a pour mérite d’inciter les étudiants et les élèves à réfléchir sur des problèmes précis et clairement identifiés, à tenter d’élaborer leurs propres solutions, à construire des arguments pour défendre leurs propres solutions et à réfuter les arguments des autres. Dans une seconde étape, les étudiants sont amenés à prendre en considération les arguments développés par les autres et à les considérer avec intérêt. Ils sont également appelés à apprendre à imaginer par avance les meilleurs arguments qui pourraient être opposés à leurs propres solutions. Ainsi, le type particulier de méta-cognition que l’étude des paradoxes permet de développer est celui qui consiste à remettre en question son propre raisonnement et à considérer sérieusement des raisonnements alternatifs. Il s’agit là d’une forme particulière de méta-cognition, qui peut être définie comme une réflexion sur la validité de son propre raisonnement, appliquée à un domaine bien circonscrit qui est celui de la résolution des paradoxes philosophiques. Une telle forme de méta-cognition, associée à d’autres formes de méta-cognition telles que celle qui résulte de la diversité linguistique et culturelle, peut s’avérer très précieuse. En effet, un tel type de méta-cognition, appliquée aux paradoxes philosophiques, permet de favoriser le développement d’une forme plus générale et universelle de méta-cognition, qui consiste à analyser son propre raisonnement et à éventuellement le remettre en question, à la lumière de raisonnements alternatifs.

200px-Decoline01.svg

REMERCIEMENTS

Je remercie mon premier lecteur, Laurent Delabre, pour ses commentaires avisés.

200px-Decoline01.svg

CRÉDITS

Les illustrations en images de synthèse de l’ouvrage ont été réalisées par l’auteur à l’aide du logiciel Blender.

Les autres illustrations proviennent de Wiki Commons.

200px-Decoline01.svg

AUTRES OUVRAGES DE L’AUTEUR

Introduction à la philosophie analytique

Dialogue d’introduction aux n-univers

 


 

 

TABLE DES MATIÈRES

DIALOGUE PRÉLIMINAIRE

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE LA BELLE AU BOIS DORMANT

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DU MENTEUR

DIALOGUE SUR LE PARADOXE SORITE

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE GOODMAN

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE LA COURSE

NOUVEAU DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE LA BELLE AU BOIS DORMANT

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE HEMPEL

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE RUSSELL

DIALOGUE À PROPOS DES PARADOXES EN GÉNÉRAL

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE NEWCOMB

DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE L’EXAMEN-SURPRISE

NOUVEAU DIALOGUE SUR LE PARADOXE DE L’EXAMEN-SURPRISE

DIALOGUE FINAL

POUR ALLER PLUS LOIN AVEC LES PARADOXES

POSTFACE

REMERCIEMENTS

CRÉDITS

Une classe de concepts

matUn article publié dans Semiotica, vol. 139 (1-4), 2002, pages 211-226.

Cet article décrit la construction, d’essence philosophique, d’une classe de concepts, dont la structure et les propriétés présentent un intérêt dans plusieurs domaines. L’accent est mis ici sur les applications dans le domaine de l’analyse paradigmatique de la présente taxinomie et la propose en tant qu’alternative à la classification proposée par Greimas.

Cet article est cité dans: